La divisibilité des nombres naturels :

Méthode 1 : Divisez les nombres et vérifiez le reste de l'opération. Si le reste est nul, alors les nombres sont divisibles.

Méthode 2 : La décomposition des nombres en facteurs premiers (la factorisation première).

• 1. Divisibilité :

• Un nombre naturel est dit divisible par un autre nombre naturel si après avoir divisé les deux nombres, le reste de l'opération est égal à zéro.
• Exemple : Divisons deux nombres différents : 12 et 15, par 4.
• En divisant 12 par 4, le quotient est 3 et le reste de l'opération est zéro.
• Mais quand on divise 15 par 4, le quotient est 3 et l'opération laisse un reste de 3.
• On dit que le nombre 12 est divisible par 4 mais que 15 n'est pas divisible par 4.
• On dit aussi que 4 est un diviseur de 12, mais pas un diviseur de 15.

• On dit que le nombre "a" est divisible par "b", s'il existe un nombre entier "n", tel que :
• a = n × b.
• Le nombre "b" est appelé diviseur de "a" ("n" est aussi un diviseur de "a").

• 2. Quelques règles de divisibilité :

• 0 est divisible par tout nombre autre que lui-même.
• 1 est un diviseur de tout nombre.
• Diviseurs impropres : Tout nombre "a", différent de zéro, est divisible au moins par 1 et lui-même. Dans ce cas, le nombre lui-même, "a", est appelé un diviseur impropre.
• Nombres premiers : Un nombre qui n'est divisible que par 1 et lui-même est également appelé un nombre premier.
• Nombres premiers entre eux : Si le plus grand commun diviseur de deux nombres, "m" et "n", le pgcd (m; n) = 1 - alors cela signifie que les deux nombres sont premiers entre eux, c'est-à-dire qu'ils n'ont pas d'autre diviseur que 1. Si un le nombre "a" est divisible par ces deux nombres premiers entre eux, "m" et "n", alors "a" est également divisible par leur produit, (m × n).
  • Exemple :
  • Le nombre 84 est divisible par 4 et 3 et est également divisible par 4 × 3 = 12
  • Cela est vrai car les deux diviseurs, 3 et 4, sont premiers entre eux.

• 3. Calcul des diviseurs :

• Le calcul des diviseurs d'un nombre est très utile lors de la simplification de fractions (aux équivalents les plus simples - le plus petit numérateur et dénominateur possible).
• Les règles établies pour trouver les diviseurs sont basées sur le fait que les nombres sont écrits dans le système décimal :
• Les multiples de 10 sont divisibles par 2 et 5, car 10 est divisible par 2 et 5
• Les multiples de 100 sont divisibles par 4 et 25, car 100 est divisible par 4 et 25
• Les multiples de 1.000 sont divisibles par 8, car 1.000 est divisible par 8.
• Toutes les puissances de 10, lorsqu'elles sont divisées par 3, ou 9, ont un reste égal à 1.

• En raison des règles des opérations avec des restes, nous avons les restes suivants lors de la division de nombres par 3 ou 9 :
• 600 donne un reste égal à 6 = 1 × 6 (1 pour chaque 100)
• 240 = 2 × 100 + 4 × 10, alors le reste sera égal à 2 × 1 + 4 × 1 = 6

• Lorsqu'un nombre est divisé par 3 ou 9, le reste est égal à ce que vous obtenez en divisant la somme des chiffres de ce nombre par 3 ou 9 :
• 7.309 a la somme de ses chiffres : 7 + 3 + 0 + 9 = 19, qui est divisé avec un reste par 3 ou 9. Donc 7.309 n'est divisible ni par 3 ni par 9.

• Toutes les puissances paires de 10, comme 10² = 100, 10⁴ = 10.000, 10⁶ = 1.000.000, et ainsi de suite, lorsqu'il est divisé par 11 avoir un reste égal à 1.
• Toutes les puissances impaires de 10, comme 10¹ = 10, 10³ = 1.000, 10⁵ = 100.000, 10⁷ = 10.000.000, et ainsi de suite, lorsqu'il est divisé par 11 avoir un reste égal à 10. Dans ce cas, la somme de ses chiffres pairs soustraite de la somme de ses chiffres impairs (la somme alternée des chiffres) du nombre a le même reste que le nombre lui-même lorsqu'il est divisé par 11.
• Comment la somme de ses chiffres pairs est-elle soustraite de la somme de ses chiffres impairs étant calculée - cela est montré dans l'exemple ci-dessous.

• Par exemple, pour le nombre : 85.976 : 6 + 9 + 8 = 23, 7 + 5 = 12, la somme alternée des chiffres : 23 - 12 = 11. Donc 85.976 est divisible par 11.

• 4. Méthodes rapides pour déterminer si un nombre est divisible par un autre ou non :

• 2, si le dernier chiffre est divisible par 2. Si le dernier chiffre d'un nombre est 0, 2, 4, 6 ou 8, alors le nombre est divisible par 2. Par exemple, le nombre 20 : 0 est divisible par 2, donc 20 doit être divisible par 2 (en effet : 20 = 2 × 10).
• 3, si la somme des chiffres du nombre est divisible par 3. Par exemple, le nombre 126 : la somme des chiffres est 1 + 2 + 6 = 9, qui est divisible par 3. Alors le nombre 126 doit aussi être divisible par 3 (en effet : 126 = 3 × 42).
• 4, si les deux derniers chiffres du nombre forment un nombre divisible par 4. Par exemple 124 : 24 est divisible par 4 (24 = 4 × 6), donc 124 est aussi divisible par 4 ( en effet : 124 = 4 × 31).
• 5, si le dernier chiffre est divisible par 5 (le dernier chiffre est 0 ou 5). Par exemple 100 : le dernier chiffre, 0, est divisible par 5, alors le nombre 100 doit être divisible par 5 (en effet : 100 = 5 × 20).
• 6, si le nombre est divisible à la fois par 2 et 3. Par exemple, le nombre 24 est divisible par 2 (24 = 2 × 12) et est également divisible par 3 (24 = 3 × 8), alors il doit être divisible par 6. En effet, 24 = 6 × 4.
• 7, si le dernier chiffre du nombre (le chiffre de l'unité), doublé, soustrait du nombre composé du reste des chiffres donne un nombre divisible par 7. Le processus peut être répété jusqu'à ce qu'un nombre plus petit soit obtenu. Par exemple, le nombre 294 est-il divisible par 7 ? On applique l'algorithme : 29 - (2 × 4) = 29 - 8 = 21. 21 est divisible par 7. 21 = 7 × 3. Mais on aurait pu appliquer à nouveau l'algorithme, cette fois sur le nombre 21 : 2 - (2 × 1) = 2 - 2 = 0. Zéro est divisible par 7, donc 21 doit être divisible par 7. Si 21 est divisible par 7, alors 294 doit être divisible par 7.
• 8, si les trois derniers chiffres du nombre forment un nombre divisible par 8. Par exemple, le nombre 2.120 : 120 est divisible par 8 puisque 120 = 8 × 15. Alors 2.120 doit aussi être divisible par 8. Preuve : si on divise les nombres, 2.120 = 8 × 265.
• 9, si la somme des chiffres du nombre est divisible par 9. Par exemple, le nombre 270 a la somme des chiffres égale à 2 + 7 + 0 = 9, qui est divisible par 9. Alors 270 doit aussi être divisible par 9. En effet : 270 = 9 × 30.
• 10, si le dernier chiffre du nombre est 0. Exemple, 140 est divisible par 10, puisque 140 = 10 × 14.
• 11 si la somme de chiffres pairs soustraite de la somme de chiffres impairs (la somme alternée des chiffres) est divisible par 11. Par exemple, le nombre 2.915 a la somme alternée des chiffres égale à : (5 + 9) - (1 + 2) = 14 - 3 = 11, qui est divisible par 11. Alors le nombre 2.915 doit aussi être divisible par 11 : 2.915 = 11 × 265.
• 25, si les deux derniers chiffres du nombre forment un nombre divisible par 25. Par exemple, le nombre composé des deux derniers chiffres du nombre 275 est 75, qui est divisible par 25, puisque 75 = 25 × 3. Alors 275 doit aussi être divisible par 25 : 275 = 25 × 11.

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