PPCM (19 ; 24) = ? Calculer le plus petit commun multiple, ppcm, par deux méthodes : 1) La décomposition en facteurs premiers des nombres et 2) L'algorithme d'Euclide
ppcm (19; 24) = ?
Les deux méthodes utilisées ci-dessous pour calculer le plus petit commun multiple : [1] La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) [2] L'algorithme d'Euclide
Méthode 1. La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première):
La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) d'un nombre : trouver les nombres premiers qui se multiplient ensemble pour faire ce nombre.
19 st un nombre premier, il ne peut pas être décomposé en d'autres facteurs premiers.
24 = 23 × 3
24 n'est pas un nombre premier mais un composé.
* Les nombres naturels qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes sont appelés nombres premiers. Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
* Un nombre composé est un nombre naturel qui a au moins un autre diviseur que 1 et lui-même.
Calculer le plus petit commun multiple, ppcm:
Multipliez tous les facteurs premiers des deux nombres. S'il existe des facteurs premiers communs, seuls ceux avec les plus grands exposants sont pris (les plus grandes puissances).
Le plus petit multiple commun:
ppcm (19; 24) = 23 × 3 × 19 = 456
Méthode 2. L'algorithme d'Euclide:
1. Calculer le plus grand commun diviseur:
Cet algorithme implique le processus de division des nombres et de calcul des restes.
'a' et 'b' sont les deux nombres naturels, 'a' >= 'b'.
Divisez 'a' par 'b' et obtenez le reste de l'opération, 'r'.
Si 'r' = 0, STOP. 'b' = le PGCD de 'a' et 'b'.
Sinon : Remplacez ('a' par 'b') et ('b' par 'r'). Revenez à l'étape ci-dessus..
Étape 1. Divisez le plus grand nombre par le plus petit:
24 : 19 = 1 + 5
Étape 2. Divisez le plus petit nombre par le reste de l'opération ci-dessus:
19 : 5 = 3 + 4
Étape 3. Diviser le reste de l'étape 1 par le reste de l'étape 2:
5 : 4 = 1 + 1
Étape 4. Diviser le reste de l'étape 2 par le reste de l'étape 3:
4 : 1 = 4 + 0
A cette étape, le reste est nul, donc on s'arrête:
1 est le nombre que nous recherchions - le dernier reste non nul.
C'est le plus grand commun diviseur.
Le plus grand commun diviseur:
pgcd (19; 24) = 1
2. Calculer le plus petit commun multiple:
Le plus petit multiple commun, Formule:
ppcm (a; b) = (a × b) / pgcd (a; b)
ppcm (19; 24) =
(19 × 24) / pgcd (19; 24) =
456 / 1 =
456
Le plus petit multiple commun:
ppcm (19; 24) = 456 = 23 × 3 × 19
Les deux nombres n'ont pas de facteurs premiers en commun:
456 = 19 × 24
Pourquoi avons-nous besoin du plus petit commun multiple ?
Pour additionner, soustraire ou comparer des fractions, vous devez d'abord calculer des fractions équivalentes qui ont le même dénominateur. Ce dénominateur commun n'est rien de plus que le plus petit commun multiple des dénominateurs des fractions.
Par définition, le plus petit commun multiple de deux nombres est le plus petit nombre naturel qui est : (1) supérieur à 0 et (2) un multiple des deux nombres.
Autres opérations similaires avec le plus petit commun multiple :
Calculateur en ligne pour le plus petit commun multiple, ppcm
Calculez le plus petit commun multiple des nombres, ppcm :
Méthode 1 : Décomposer les nombres en facteurs premiers (faire la factorisation première des nombres) - puis multiplier tous les facteurs premiers communs, pris par les plus grands exposants (puissances).
Méthode 2 : L'algorithme d'Euclide :
ppcm (a; b) = (a × b) / pgcd (a; b)
Méthode 3 : La divisibilité des nombres.
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Le plus petit commun multiple (ppcm). Qu'est-ce que c'est et comment le calculer.
- Le nombre 60 est un multiple commun des nombres 6 et 15 car 60 est un multiple de 6 (60 = 6 × 10) et aussi un multiple de 15 (60 = 15 × 4).
- Il existe une infinité de multiples communs de 6 et 15.
- Si le nombre "v" est un multiple des nombres "a" et "b", alors tous les multiples de "v" sont aussi des multiples de "a" et "b".
- Les multiples communs de 6 et 15 sont les nombres 30, 60, 90, 120, etc.
- Parmi ceux-ci, 30 est le plus petit, 30 est le plus petit commun multiple (ppcm) de 6 et 15.
- Note: La décomposition d'un nombre en facteurs premiers (la factorisation première d'un nombre) consiste à écrire un nombre naturel supérieur à 1 sous la forme d'un produit de nombres premiers.
- Si e = ppcm (a, b), alors la factorisation première de "e" doit contenir tous les facteurs premiers impliqués dans la factorisation première de "a" et "b", pris à la puissance la plus élevée.
- Exemple :
- 40 = 23 × 5
- 36 = 22 × 32
- 126 = 2 × 32 × 7
- ppcm (40, 36, 126) = 23 × 32 × 5 × 7 = 2.520
- Note: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. On dit 2 à la puissance 3 - ou - 2 exposant 3. Dans cet exemple, 3 est l'exposant et 2 la base. L'exposant indique combien de fois la base est multipliée par elle-même. 23 est la puissance et 8 est la valeur de la puissance.
- Un autre exemple de calcul du plus petit commun multiple, ppcm :
- 938 = 2 × 7 × 67
- 982 = 2 × 491
- 743 = est un nombre premier et ne peut pas être décomposé en d'autres facteurs premiers
- ppcm (938, 982, 743) = 2 × 7 × 67 × 491 × 743 = 342.194.594
- Si deux nombres ou plus n'ont pas de facteurs communs (ils sont premiers entre eux), alors leur plus petit commun multiple (ppcm) est calculé en multipliant simplement les nombres.
- Exemple :
- 6 = 2 × 3
- 35 = 5 × 7
- ppcm (6, 35) = 2 × 3 × 5 × 7 = 6 × 35 = 210
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