PPCM (46.466.575.661 ; 43.463.643.671) = ? Calculer le plus petit commun multiple, ppcm, par deux méthodes : 1) La décomposition en facteurs premiers des nombres et 2) L'algorithme d'Euclide

La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) d'un nombre : trouver les nombres premiers qui se multiplient ensemble pour faire ce nombre.

46.466.575.661 = 11 × 59 × 2.213 × 32.353
46.466.575.661 n'est pas un nombre premier mais un composé.

43.463.643.671 = 7 × 6.209.091.953
43.463.643.671 n'est pas un nombre premier mais un composé.

» Calculateur en ligne. Vérifier si un nombre est premier ou non. La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) des nombres composés

* Les nombres naturels qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes sont appelés nombres premiers. Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
* Un nombre composé est un nombre naturel qui a au moins un autre diviseur que 1 et lui-même.

Multipliez tous les facteurs premiers des deux nombres. S'il existe des facteurs premiers communs, seuls ceux avec les plus grands exposants sont pris (les plus grandes puissances).

Cet algorithme implique le processus de division des nombres et de calcul des restes.

'a' et 'b' sont les deux nombres naturels, 'a' >= 'b'.

Divisez 'a' par 'b' et obtenez le reste de l'opération, 'r'.

Si 'r' = 0, STOP. 'b' = le PGCD de 'a' et 'b'.

Sinon : Remplacez ('a' par 'b') et ('b' par 'r'). Revenez à l'étape ci-dessus..

Étape 1. Divisez le plus grand nombre par le plus petit:
46.466.575.661 : 43.463.643.671 = 1 + 3.002.931.990

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Étape 2. Divisez le plus petit nombre par le reste de l'opération ci-dessus:
43.463.643.671 : 3.002.931.990 = 14 + 1.422.595.811

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Étape 3. Diviser le reste de l'étape 1 par le reste de l'étape 2:
3.002.931.990 : 1.422.595.811 = 2 + 157.740.368

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Étape 4. Diviser le reste de l'étape 2 par le reste de l'étape 3:
1.422.595.811 : 157.740.368 = 9 + 2.932.499

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Étape 5. Diviser le reste de l'étape 3 par le reste de l'étape 4:
157.740.368 : 2.932.499 = 53 + 2.317.921

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Étape 6. Diviser le reste de l'étape 4 par le reste de l'étape 5:
2.932.499 : 2.317.921 = 1 + 614.578

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Étape 7. Diviser le reste de l'étape 5 par le reste de l'étape 6:
2.317.921 : 614.578 = 3 + 474.187

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Étape 8. Diviser le reste de l'étape 6 par le reste de l'étape 7:
614.578 : 474.187 = 1 + 140.391

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Étape 9. Diviser le reste de l'étape 7 par le reste de l'étape 8:
474.187 : 140.391 = 3 + 53.014

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Étape 10. Diviser le reste de l'étape 8 par le reste de l'étape 9:
140.391 : 53.014 = 2 + 34.363

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Étape 11. Diviser le reste de l'étape 9 par le reste de l'étape 10:
53.014 : 34.363 = 1 + 18.651

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Étape 12. Diviser le reste de l'étape 10 par le reste de l'étape 11:
34.363 : 18.651 = 1 + 15.712

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Étape 13. Diviser le reste de l'étape 11 par le reste de l'étape 12:
18.651 : 15.712 = 1 + 2.939

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Étape 14. Diviser le reste de l'étape 12 par le reste de l'étape 13:
15.712 : 2.939 = 5 + 1.017

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Étape 15. Diviser le reste de l'étape 13 par le reste de l'étape 14:
2.939 : 1.017 = 2 + 905

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Étape 16. Diviser le reste de l'étape 14 par le reste de l'étape 15:
1.017 : 905 = 1 + 112

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Étape 17. Diviser le reste de l'étape 15 par le reste de l'étape 16:
905 : 112 = 8 + 9

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Étape 18. Diviser le reste de l'étape 16 par le reste de l'étape 17:
112 : 9 = 12 + 4

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Étape 19. Diviser le reste de l'étape 17 par le reste de l'étape 18:
9 : 4 = 2 + 1

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Étape 20. Diviser le reste de l'étape 18 par le reste de l'étape 19:
4 : 1 = 4 + 0

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A cette étape, le reste est nul, donc on s'arrête:
1 est le nombre que nous recherchions - le dernier reste non nul.
C'est le plus grand commun diviseur.

Le plus grand commun diviseur:
pgcd (46.466.575.661; 43.463.643.671) = 1

Le plus petit multiple commun, Formule:

ppcm (a; b) = ^{(a × b)} / _{pgcd (a; b)}

» L'algorithme d'Euclide

Pourquoi avons-nous besoin du plus petit commun multiple ?

Pour additionner, soustraire ou comparer des fractions, vous devez d'abord calculer des fractions équivalentes qui ont le même dénominateur. Ce dénominateur commun n'est rien de plus que le plus petit commun multiple des dénominateurs des fractions.

Par définition, le plus petit commun multiple de deux nombres est le plus petit nombre naturel qui est : (1) supérieur à 0 et (2) un multiple des deux nombres.