PPCM (99.999.999.993 ; 1.405) = ? Calculer le plus petit commun multiple, ppcm, par deux méthodes : 1) La décomposition en facteurs premiers des nombres et 2) L'algorithme d'Euclide

La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) d'un nombre : trouver les nombres premiers qui se multiplient ensemble pour faire ce nombre.

99.999.999.993 = 3 × 307 × 108.577.633
99.999.999.993 n'est pas un nombre premier mais un composé.

1.405 = 5 × 281
1.405 n'est pas un nombre premier mais un composé.

* Les nombres naturels qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes sont appelés nombres premiers. Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
* Un nombre composé est un nombre naturel qui a au moins un autre diviseur que 1 et lui-même.

>> La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première)

Multipliez tous les facteurs premiers des deux nombres. S'il existe des facteurs premiers communs, seuls ceux avec les plus grands exposants sont pris (les plus grandes puissances).

Cet algorithme implique le processus de division des nombres et de calcul des restes.

'a' et 'b' sont les deux nombres naturels, 'a' >= 'b'.

Divisez 'a' par 'b' et obtenez le reste de l'opération, 'r'.

Si 'r' = 0, STOP. 'b' = le PGCD de 'a' et 'b'.

Sinon : Remplacez ('a' par 'b') et ('b' par 'r'). Revenez à l'étape ci-dessus..

Étape 1. Divisez le plus grand nombre par le plus petit:
99.999.999.993 : 1.405 = 71.174.377 + 308

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Étape 2. Divisez le plus petit nombre par le reste de l'opération ci-dessus:
1.405 : 308 = 4 + 173

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Étape 3. Diviser le reste de l'étape 1 par le reste de l'étape 2:
308 : 173 = 1 + 135

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Étape 4. Diviser le reste de l'étape 2 par le reste de l'étape 3:
173 : 135 = 1 + 38

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Étape 5. Diviser le reste de l'étape 3 par le reste de l'étape 4:
135 : 38 = 3 + 21

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Étape 6. Diviser le reste de l'étape 4 par le reste de l'étape 5:
38 : 21 = 1 + 17

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Étape 7. Diviser le reste de l'étape 5 par le reste de l'étape 6:
21 : 17 = 1 + 4

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Étape 8. Diviser le reste de l'étape 6 par le reste de l'étape 7:
17 : 4 = 4 + 1

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Étape 9. Diviser le reste de l'étape 7 par le reste de l'étape 8:
4 : 1 = 4 + 0

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A cette étape, le reste est nul, donc on s'arrête:
1 est le nombre que nous recherchions - le dernier reste non nul.
C'est le plus grand commun diviseur.

Le plus grand commun diviseur:
pgcd (99.999.999.993; 1.405) = 1

Le plus petit multiple commun, Formule:

ppcm (a; b) = ^{(a × b)} / _{pgcd (a; b)}

>> L'algorithme d'Euclide

Pour additionner, soustraire ou comparer des fractions, vous devez d'abord calculer des fractions équivalentes qui ont le même dénominateur. Ce dénominateur commun n'est rien de plus que le plus petit commun multiple des dénominateurs des fractions.

Par définition, le plus petit commun multiple de deux nombres est le plus petit nombre naturel qui est : (1) supérieur à 0 et (2) un multiple des deux nombres.