pgcd (0 ; 0) = ? Calculer le plus grand commun diviseur des nombres, pgcd
pgcd (0; 0) = ?
pgcd (0; n1) = n1, où n1 est un nombre naturel.
Zéro est divisible par tout nombre différent de zéro. Il n'y a pas de reste lors de la division du nombre zéro par un autre nombre non nul.
pgcd (0; 0) = 0
Autres opérations similaires avec le plus grand commun diviseur :
Le plus grand commun diviseur, pgcd : le 5 dernier calculé
Calculateur en ligne pour le plus grand commun diviseur, pgcd
Calculer le plus grand commun diviseur, pgcd, des nombres :
Méthode 1 : Décomposer les nombres en facteurs premiers (faire la factorisation première des nombres) - puis multiplier tous les facteurs premiers communs, pris par leurs plus petits exposants (puissances). S'il n'y a pas de facteurs premiers communs, alors pgcd est égal à 1.
Méthode 2 : L'algorithme d'Euclide.
Méthode 3 : La divisibilité des nombres.
Le plus grand commun diviseur, pgcd. Qu'est-ce que c'est et comment le calculer
- Note : La décomposition d'un nombre en facteurs premiers (la factorisation première d'un nombre) consiste à écrire un nombre naturel supérieur à 1 sous la forme d'un produit de nombres premiers.
- Supposons que le nombre "t" divise le nombre "a" sans reste.
- Lorsque nous examinons la factorisation première de "a" et "t", nous constatons que :
- 1) tous les facteurs premiers de "t" sont aussi des facteurs premiers de "a"
- et
- 2) les exposants (puissances) des facteurs premiers de "t" sont égaux ou inférieurs aux exposants des facteurs premiers de "a" (voir la * note ci-dessous)
- Par exemple, le nombre 12 est un diviseur du nombre 60 :
- 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3
- 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 22 × 3 × 5
- * Note: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. On dit 2 à la puissance 3 - ou - 2 exposant 3. Dans cet exemple, 3 est l'exposant et 2 la base. L'exposant indique combien de fois la base est multipliée par elle-même. 23 est la puissance et 8 est la valeur de la puissance.
- Si le nombre "t" est un diviseur commun des nombres "a" et "b", alors :
- 1) "t" n'a que des facteurs premiers qui interviennent également dans la factorisation première de "a" et "b".
- et
- 2) chaque facteur premier de "t" a les plus petits exposants par rapport aux facteurs premiers des nombres "a" et "b".
- Par exemple, le nombre 12 est le diviseur commun des nombres 48 et 360. Voici ci-dessous leur factorisation première :
- 12 = 22 × 3
- 48 = 24 × 3
- 360 = 23 × 32 × 5
- Vous pouvez voir que le nombre 12 n'a que les facteurs premiers qui se produisent également dans la décomposition en facteurs premiers des nombres 48 et 360.
- Vous pouvez voir ci-dessus que les nombres 48 et 360 contiennent plusieurs facteurs communs : 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Parmi ceux-ci, 24 est le plus grand commun diviseur (pgcd) de 48 et 360.
- 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3
- 48 = 24 × 3
- 360 = 23 × 32 × 5
- 24, le plus grand diviseur commun des nombres 48 et 360, est calculé comme le produit de tous les facteurs premiers communs des deux nombres, pris par les plus petits exposants (puissances).
- Si deux nombres "a" et "b" n'ont pas d'autre diviseur commun que 1, pgcd (a, b) = 1, alors les nombres "a" et "b" sont appelés nombres premiers entre eux.
- Si "a" et "b" ne sont pas premiers entre eux, alors chaque diviseur commun de "a" et "b" est un diviseur du plus grand commun diviseur de "a" et "b".
- Prenons un exemple sur la façon de calculer le plus grand commun diviseur, pgcd, des nombres suivants :
- 1.260 = 22 × 32
- 3.024 = 24 × 32 × 7
- 5.544 = 23 × 32 × 7 × 11
- pgcd (1.260, 3.024, 5.544) = 22 × 32 = 252
- Et un autre exemple :
- 900 = 22 × 32 × 52
- 270 = 2 × 33 × 5
- 210 = 2 × 3 × 5 × 7
- pgcd (900, 270, 210) = 2 × 3 × 5 = 30
- Et encore un exemple :
- 90 = 2 × 32 × 5
- 27 = 33
- 22 = 2 × 11
- pgcd (90, 27, 22) = 1 - Les trois nombres n'ont pas de facteurs premiers en commun, ils sont premiers entre eux.
Quelques articles concernant les nombres premiers