Calculer le pgcd, le plus grand commun diviseur des nombres (105 ; 70). Calculatrice en ligne

Calculer le plus grand commun diviseur, pgcd (105; 70), en utilisant leur décomposition en facteurs premiers, la divisibilité des nombres ou l'algorithme d'Euclide

Méthode 1. La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première):

La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) d'un nombre : trouver les nombres premiers qui se multiplient ensemble pour former ce nombre.

105 = 3 × 5 × 7
105 n'est pas un nombre premier mais un composé.

70 = 2 × 5 × 7
70 n'est pas un nombre premier mais un composé.

» Calculateur en ligne. Vérifier si un nombre est premier ou non. La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) des nombres composés

* Les nombres naturels qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes sont appelés nombres premiers. Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
* Un nombre composé est un nombre naturel qui a au moins un autre diviseur que 1 et lui-même.


Calculer le plus grand commun diviseur:

Multipliez tous les facteurs premiers communs, pris par leurs plus petites puissances (exposants).


Le plus grand commun diviseur,
pgcd (105; 70) = 5 × 7 = 35
Les deux nombres ont des facteurs premiers communs.
Faites défiler vers le bas pour la 2ème méthode...

Méthode 2. L'algorithme d'Euclide:

Cet algorithme implique le processus de division des nombres et de calcul des restes.

'a' et 'b' sont les deux nombres naturels, 'a' >= 'b'.

Divisez 'a' par 'b' et obtenez le reste de l'opération, 'r'.

Si 'r' = 0, STOP. 'b' = le PGCD de 'a' et 'b'.

Sinon : Remplacez ('a' par 'b') et ('b' par 'r'). Revenez à l'étape ci-dessus..

» L'algorithme d'Euclide



Étape 1. Divisez le plus grand nombre par le plus petit:
105 : 70 = 1 + 35
Étape 2. Divisez le plus petit nombre par le reste de l'opération ci-dessus:
70 : 35 = 2 + 0
A cette étape, le reste est nul, donc on s'arrête:
35 est le nombre que nous recherchions - le dernier reste non nul.
C'est le plus grand commun diviseur.


Le plus grand commun diviseur:
pgcd (105; 70) = 35 = 5 × 7
Les deux nombres ont des facteurs premiers communs

Pourquoi doit-on calculer le plus grand commun diviseur ?

Une fois que vous avez calculé le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur d'une fraction, il devient beaucoup plus facile de simplifier la fraction le plus possible, à la fraction équivalente la plus simple, irréductible (le plus petit numérateur et dénominateur possible).


Autres opérations similaires avec le plus grand commun diviseur :

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Le plus grand commun diviseur, pgcd. Qu'est-ce que c'est et comment le calculer

  • Note : La décomposition d'un nombre en facteurs premiers (la factorisation première d'un nombre) consiste à écrire un nombre naturel supérieur à 1 sous la forme d'un produit de nombres premiers.
  • Supposons que le nombre "t" divise le nombre "a" sans reste.
  • Lorsque nous examinons la factorisation première de "a" et "t", nous constatons que :
  • 1) tous les facteurs premiers de "t" sont aussi des facteurs premiers de "a"
  • et
  • 2) les exposants (puissances) des facteurs premiers de "t" sont égaux ou inférieurs aux exposants des facteurs premiers de "a" (voir la * note ci-dessous)
  • Par exemple, le nombre 12 est un diviseur du nombre 60 :
  • 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3
  • 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 22 × 3 × 5
  • * Note: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. On dit 2 à la puissance 3 - ou - 2 exposant 3. Dans cet exemple, 3 est l'exposant et 2 la base. L'exposant indique combien de fois la base est multipliée par elle-même. 23 est la puissance et 8 est la valeur de la puissance.
  • Si le nombre "t" est un diviseur commun des nombres "a" et "b", alors :
  • 1) "t" n'a que des facteurs premiers qui interviennent également dans la factorisation première de "a" et "b".
  • et
  • 2) chaque facteur premier de "t" a les plus petits exposants par rapport aux facteurs premiers des nombres "a" et "b".
  • Par exemple, le nombre 12 est le diviseur commun des nombres 48 et 360. Voici ci-dessous leur factorisation première :
  • 12 = 22 × 3
  • 48 = 24 × 3
  • 360 = 23 × 32 × 5
  • Vous pouvez voir que le nombre 12 n'a que les facteurs premiers qui se produisent également dans la décomposition en facteurs premiers des nombres 48 et 360.
  • Vous pouvez voir ci-dessus que les nombres 48 et 360 contiennent plusieurs facteurs communs : 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Parmi ceux-ci, 24 est le plus grand commun diviseur (pgcd) de 48 et 360.
  • 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3
  • 48 = 24 × 3
  • 360 = 23 × 32 × 5
  • 24, le plus grand diviseur commun des nombres 48 et 360, est calculé comme le produit de tous les facteurs premiers communs des deux nombres, pris par les plus petits exposants (puissances).
  • Si deux nombres "a" et "b" n'ont pas d'autre diviseur commun que 1, pgcd (a, b) = 1, alors les nombres "a" et "b" sont appelés nombres premiers entre eux.
  • Si "a" et "b" ne sont pas premiers entre eux, alors chaque diviseur commun de "a" et "b" est un diviseur du plus grand commun diviseur de "a" et "b".
  • Prenons un exemple sur la façon de calculer le plus grand commun diviseur, pgcd, des nombres suivants :
  • 1.260 = 22 × 32
  • 3.024 = 24 × 32 × 7
  • 5.544 = 23 × 32 × 7 × 11
  • pgcd (1.260, 3.024, 5.544) = 22 × 32 = 252
  • Et un autre exemple :
  • 900 = 22 × 32 × 52
  • 270 = 2 × 33 × 5
  • 210 = 2 × 3 × 5 × 7
  • pgcd (900, 270, 210) = 2 × 3 × 5 = 30
  • Et encore un exemple :
  • 90 = 2 × 32 × 5
  • 27 = 33
  • 22 = 2 × 11
  • pgcd (90, 27, 22) = 1 - Les trois nombres n'ont pas de facteurs premiers en commun, ils sont premiers entre eux.