pgcd (11 ; 73.753.603) = ? Calculer le plus grand commun diviseur des nombres, pgcd, par deux méthodes : 1) La divisibilité des nombres et 2) La décomposition en facteurs premiers (factorisation première)

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Quel est le plus grand commun diviseur, pgcd, des nombres 1.000.000.000.000 et 73.753.598?

Quel est le plus grand commun diviseur, pgcd, des nombres 20 et 73.753.618?

Calculer le plus grand commun diviseur, pgcd, des nombres :

Méthode 1 : Décomposer les nombres en facteurs premiers (faire la factorisation première des nombres) - puis multiplier tous les facteurs premiers communs, pris par leurs plus petits exposants (puissances). S'il n'y a pas de facteurs premiers communs, alors pgcd est égal à 1.

Méthode 2 : L'algorithme d'Euclide.

Méthode 3 : La divisibilité des nombres.

• Note : La décomposition d'un nombre en facteurs premiers (la factorisation première d'un nombre) consiste à écrire un nombre naturel supérieur à 1 sous la forme d'un produit de nombres premiers.
• Supposons que le nombre "t" divise le nombre "a" sans reste.
• Lorsque nous examinons la factorisation première de "a" et "t", nous constatons que :
• 1) tous les facteurs premiers de "t" sont aussi des facteurs premiers de "a"
• et
• 2) les exposants (puissances) des facteurs premiers de "t" sont égaux ou inférieurs aux exposants des facteurs premiers de "a" (voir la * note ci-dessous)

• Par exemple, le nombre 12 est un diviseur du nombre 60 :
• 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
• 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5
• * Note: 2³ = 2 × 2 × 2 = 8. On dit 2 à la puissance 3 - ou - 2 exposant 3. Dans cet exemple, 3 est l'exposant et 2 la base. L'exposant indique combien de fois la base est multipliée par elle-même. 2³ est la puissance et 8 est la valeur de la puissance.

• Si le nombre "t" est un diviseur commun des nombres "a" et "b", alors :
• 1) "t" n'a que des facteurs premiers qui interviennent également dans la factorisation première de "a" et "b".
• et
• 2) chaque facteur premier de "t" a les plus petits exposants par rapport aux facteurs premiers des nombres "a" et "b".

• Par exemple, le nombre 12 est le diviseur commun des nombres 48 et 360. Voici ci-dessous leur factorisation première :
• 12 = 2² × 3
• 48 = 2⁴ × 3
• 360 = 2³ × 3² × 5
• Vous pouvez voir que le nombre 12 n'a que les facteurs premiers qui se produisent également dans la décomposition en facteurs premiers des nombres 48 et 360.
• Vous pouvez voir ci-dessus que les nombres 48 et 360 contiennent plusieurs facteurs communs : 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Parmi ceux-ci, 24 est le plus grand commun diviseur (pgcd) de 48 et 360.
• 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2³ × 3
• 48 = 2⁴ × 3
• 360 = 2³ × 3² × 5
• 24, le plus grand diviseur commun des nombres 48 et 360, est calculé comme le produit de tous les facteurs premiers communs des deux nombres, pris par les plus petits exposants (puissances).

• Si deux nombres "a" et "b" n'ont pas d'autre diviseur commun que 1, pgcd (a, b) = 1, alors les nombres "a" et "b" sont appelés nombres premiers entre eux.
• Si "a" et "b" ne sont pas premiers entre eux, alors chaque diviseur commun de "a" et "b" est un diviseur du plus grand commun diviseur de "a" et "b".

• Prenons un exemple sur la façon de calculer le plus grand commun diviseur, pgcd, des nombres suivants :
• 1.260 = 2² × 3²
• 3.024 = 2⁴ × 3² × 7
• 5.544 = 2³ × 3² × 7 × 11
• pgcd (1.260, 3.024, 5.544) = 2² × 3² = 252

• Et un autre exemple :
• 900 = 2² × 3² × 5²
• 270 = 2 × 3³ × 5
• 210 = 2 × 3 × 5 × 7
• pgcd (900, 270, 210) = 2 × 3 × 5 = 30

• Et encore un exemple :
• 90 = 2 × 3² × 5
• 27 = 3³
• 22 = 2 × 11
• pgcd (90, 27, 22) = 1 - Les trois nombres n'ont pas de facteurs premiers en commun, ils sont premiers entre eux.

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