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Calculer le plus grand commun diviseur, pgcd, des nombres :

Méthode 1 : Décomposer les nombres en facteurs premiers (faire la factorisation première des nombres) - puis multiplier tous les facteurs premiers communs, pris par leurs plus petits exposants (puissances). S'il n'y a pas de facteurs premiers communs, alors pgcd est égal à 1.

Méthode 2 : L'algorithme d'Euclide.

Méthode 3 : La divisibilité des nombres.

• Note : La décomposition d'un nombre en facteurs premiers (la factorisation première d'un nombre) consiste à écrire un nombre naturel supérieur à 1 sous la forme d'un produit de nombres premiers.
• Supposons que le nombre "t" divise le nombre "a" sans reste.
• Lorsque nous examinons la factorisation première de "a" et "t", nous constatons que :
• 1) tous les facteurs premiers de "t" sont aussi des facteurs premiers de "a"
• et
• 2) les exposants (puissances) des facteurs premiers de "t" sont égaux ou inférieurs aux exposants des facteurs premiers de "a" (voir la * note ci-dessous)

• Par exemple, le nombre 12 est un diviseur du nombre 60 :
• 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
• 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5
• * Note: 2³ = 2 × 2 × 2 = 8. On dit 2 à la puissance 3 - ou - 2 exposant 3. Dans cet exemple, 3 est l'exposant et 2 la base. L'exposant indique combien de fois la base est multipliée par elle-même. 2³ est la puissance et 8 est la valeur de la puissance.

• Si le nombre "t" est un diviseur commun des nombres "a" et "b", alors :
• 1) "t" n'a que des facteurs premiers qui interviennent également dans la factorisation première de "a" et "b".
• et
• 2) chaque facteur premier de "t" a les plus petits exposants par rapport aux facteurs premiers des nombres "a" et "b".

• Par exemple, le nombre 12 est le diviseur commun des nombres 48 et 360. Voici ci-dessous leur factorisation première :
• 12 = 2² × 3
• 48 = 2⁴ × 3
• 360 = 2³ × 3² × 5
• Vous pouvez voir que le nombre 12 n'a que les facteurs premiers qui se produisent également dans la décomposition en facteurs premiers des nombres 48 et 360.
• Vous pouvez voir ci-dessus que les nombres 48 et 360 contiennent plusieurs facteurs communs : 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Parmi ceux-ci, 24 est le plus grand commun diviseur (pgcd) de 48 et 360.
• 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2³ × 3
• 48 = 2⁴ × 3
• 360 = 2³ × 3² × 5
• 24, le plus grand diviseur commun des nombres 48 et 360, est calculé comme le produit de tous les facteurs premiers communs des deux nombres, pris par les plus petits exposants (puissances).

• Si deux nombres "a" et "b" n'ont pas d'autre diviseur commun que 1, pgcd (a, b) = 1, alors les nombres "a" et "b" sont appelés nombres premiers entre eux.
• Si "a" et "b" ne sont pas premiers entre eux, alors chaque diviseur commun de "a" et "b" est un diviseur du plus grand commun diviseur de "a" et "b".

• Prenons un exemple sur la façon de calculer le plus grand commun diviseur, pgcd, des nombres suivants :
• 1.260 = 2² × 3²
• 3.024 = 2⁴ × 3² × 7
• 5.544 = 2³ × 3² × 7 × 11
• pgcd (1.260, 3.024, 5.544) = 2² × 3² = 252

• Et un autre exemple :
• 900 = 2² × 3² × 5²
• 270 = 2 × 3³ × 5
• 210 = 2 × 3 × 5 × 7
• pgcd (900, 270, 210) = 2 × 3 × 5 = 30

• Et encore un exemple :
• 90 = 2 × 3² × 5
• 27 = 3³
• 22 = 2 × 11
• pgcd (90, 27, 22) = 1 - Les trois nombres n'ont pas de facteurs premiers en commun, ils sont premiers entre eux.

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