pgcd (15.036 ; 6.326) = ? Calculer le plus grand commun diviseur des nombres, pgcd, par deux méthodes : 1) La décomposition en facteurs premiers (factorisation première) et 2) L'algorithme d'Euclide
pgcd (15.036; 6.326) = ?
Méthode 1. La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première):
La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) d'un nombre : trouver les nombres premiers qui se multiplient ensemble pour former ce nombre.
15.036 = 22 × 3 × 7 × 179
15.036 n'est pas un nombre premier mais un composé.
6.326 = 2 × 3.163
6.326 n'est pas un nombre premier mais un composé.
* Les nombres naturels qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes sont appelés nombres premiers. Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
* Un nombre composé est un nombre naturel qui a au moins un autre diviseur que 1 et lui-même.
Calculer le plus grand commun diviseur:
Multipliez tous les facteurs premiers communs, pris par leurs plus petites puissances (exposants).
Le plus grand commun diviseur,
pgcd (15.036; 6.326) = 2
Les deux nombres ont des facteurs premiers communs.
Faites défiler vers le bas pour la 2ème méthode...
Méthode 2. L'algorithme d'Euclide:
Cet algorithme implique le processus de division des nombres et de calcul des restes.
'a' et 'b' sont les deux nombres naturels, 'a' >= 'b'.
Divisez 'a' par 'b' et obtenez le reste de l'opération, 'r'.
Si 'r' = 0, STOP. 'b' = le PGCD de 'a' et 'b'.
Sinon : Remplacez ('a' par 'b') et ('b' par 'r'). Revenez à l'étape ci-dessus..
Étape 1. Divisez le plus grand nombre par le plus petit:
15.036 : 6.326 = 2 + 2.384
Étape 2. Divisez le plus petit nombre par le reste de l'opération ci-dessus:
6.326 : 2.384 = 2 + 1.558
Étape 3. Diviser le reste de l'étape 1 par le reste de l'étape 2:
2.384 : 1.558 = 1 + 826
Étape 4. Diviser le reste de l'étape 2 par le reste de l'étape 3:
1.558 : 826 = 1 + 732
Étape 5. Diviser le reste de l'étape 3 par le reste de l'étape 4:
826 : 732 = 1 + 94
Étape 6. Diviser le reste de l'étape 4 par le reste de l'étape 5:
732 : 94 = 7 + 74
Étape 7. Diviser le reste de l'étape 5 par le reste de l'étape 6:
94 : 74 = 1 + 20
Étape 8. Diviser le reste de l'étape 6 par le reste de l'étape 7:
74 : 20 = 3 + 14
Étape 9. Diviser le reste de l'étape 7 par le reste de l'étape 8:
20 : 14 = 1 + 6
Étape 10. Diviser le reste de l'étape 8 par le reste de l'étape 9:
14 : 6 = 2 + 2
Étape 11. Diviser le reste de l'étape 9 par le reste de l'étape 10:
6 : 2 = 3 + 0
A cette étape, le reste est nul, donc on s'arrête:
2 est le nombre que nous recherchions - le dernier reste non nul.
C'est le plus grand commun diviseur.
Le plus grand commun diviseur:
pgcd (15.036; 6.326) = 2
Les deux nombres ont des facteurs premiers communs
Pourquoi doit-on calculer le plus grand commun diviseur ?
Une fois que vous avez calculé le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur d'une fraction, il devient beaucoup plus facile de simplifier la fraction le plus possible, à la fraction équivalente la plus simple, irréductible (le plus petit numérateur et dénominateur possible).
Autres opérations similaires avec le plus grand commun diviseur :
Calculateur en ligne pour le plus grand commun diviseur, pgcd
Calculer le plus grand commun diviseur, pgcd, des nombres :
Méthode 1 : Décomposer les nombres en facteurs premiers (faire la factorisation première des nombres) - puis multiplier tous les facteurs premiers communs, pris par leurs plus petits exposants (puissances). S'il n'y a pas de facteurs premiers communs, alors pgcd est égal à 1.
Méthode 2 : L'algorithme d'Euclide.
Méthode 3 : La divisibilité des nombres.