pgcd (1.600 ; 4.293) = ? Calculer le plus grand commun diviseur des nombres, pgcd, par deux méthodes : 1) La décomposition en facteurs premiers (factorisation première) et 2) L'algorithme d'Euclide
pgcd (1.600; 4.293) = ?
Méthode 1. La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première):
La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) d'un nombre : trouver les nombres premiers qui se multiplient ensemble pour former ce nombre.
1.600 = 26 × 52
1.600 n'est pas un nombre premier mais un composé.
4.293 = 34 × 53
4.293 n'est pas un nombre premier mais un composé.
* Les nombres naturels qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes sont appelés nombres premiers. Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
* Un nombre composé est un nombre naturel qui a au moins un autre diviseur que 1 et lui-même.
Calculer le plus grand commun diviseur:
Multipliez tous les facteurs premiers communs, pris par leurs plus petites puissances (exposants).
Mais les deux nombres n'ont pas de facteurs premiers communs.
Le plus grand commun diviseur,
pgcd (1.600; 4.293) = 1
Nombres premiers entre eux.
Faites défiler vers le bas pour la 2ème méthode...
Méthode 2. L'algorithme d'Euclide:
Cet algorithme implique le processus de division des nombres et de calcul des restes.
'a' et 'b' sont les deux nombres naturels, 'a' >= 'b'.
Divisez 'a' par 'b' et obtenez le reste de l'opération, 'r'.
Si 'r' = 0, STOP. 'b' = le PGCD de 'a' et 'b'.
Sinon : Remplacez ('a' par 'b') et ('b' par 'r'). Revenez à l'étape ci-dessus..
Étape 1. Divisez le plus grand nombre par le plus petit:
4.293 : 1.600 = 2 + 1.093
Étape 2. Divisez le plus petit nombre par le reste de l'opération ci-dessus:
1.600 : 1.093 = 1 + 507
Étape 3. Diviser le reste de l'étape 1 par le reste de l'étape 2:
1.093 : 507 = 2 + 79
Étape 4. Diviser le reste de l'étape 2 par le reste de l'étape 3:
507 : 79 = 6 + 33
Étape 5. Diviser le reste de l'étape 3 par le reste de l'étape 4:
79 : 33 = 2 + 13
Étape 6. Diviser le reste de l'étape 4 par le reste de l'étape 5:
33 : 13 = 2 + 7
Étape 7. Diviser le reste de l'étape 5 par le reste de l'étape 6:
13 : 7 = 1 + 6
Étape 8. Diviser le reste de l'étape 6 par le reste de l'étape 7:
7 : 6 = 1 + 1
Étape 9. Diviser le reste de l'étape 7 par le reste de l'étape 8:
6 : 1 = 6 + 0
A cette étape, le reste est nul, donc on s'arrête:
1 est le nombre que nous recherchions - le dernier reste non nul.
C'est le plus grand commun diviseur.
Le plus grand commun diviseur:
pgcd (1.600; 4.293) = 1
Nombres premiers entre eux.
Les deux nombres n'ont pas de facteurs premiers en commun
Pourquoi doit-on calculer le plus grand commun diviseur ?
Une fois que vous avez calculé le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur d'une fraction, il devient beaucoup plus facile de simplifier la fraction le plus possible, à la fraction équivalente la plus simple, irréductible (le plus petit numérateur et dénominateur possible).
Autres opérations similaires avec le plus grand commun diviseur :
Calculateur en ligne pour le plus grand commun diviseur, pgcd
Calculer le plus grand commun diviseur, pgcd, des nombres :
Méthode 1 : Décomposer les nombres en facteurs premiers (faire la factorisation première des nombres) - puis multiplier tous les facteurs premiers communs, pris par leurs plus petits exposants (puissances). S'il n'y a pas de facteurs premiers communs, alors pgcd est égal à 1.
Méthode 2 : L'algorithme d'Euclide.
Méthode 3 : La divisibilité des nombres.