Calculer le pgcd, le plus grand commun diviseur des nombres (198 ; 121). Calculatrice en ligne
Calculer le plus grand commun diviseur, pgcd (198; 121), en utilisant leur décomposition en facteurs premiers, la divisibilité des nombres ou l'algorithme d'Euclide
Méthode 1. La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première):
La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) d'un nombre : trouver les nombres premiers qui se multiplient ensemble pour former ce nombre.
198 = 2 × 32 × 11
198 n'est pas un nombre premier mais un composé.
121 = 112
121 n'est pas un nombre premier mais un composé.
* Les nombres naturels qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes sont appelés nombres premiers. Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
* Un nombre composé est un nombre naturel qui a au moins un autre diviseur que 1 et lui-même.
Calculer le plus grand commun diviseur:
Multipliez tous les facteurs premiers communs, pris par leurs plus petites puissances (exposants).
Le plus grand commun diviseur,
pgcd (198; 121) = 11
Les deux nombres ont des facteurs premiers communs.
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Méthode 2. L'algorithme d'Euclide:
Cet algorithme implique le processus de division des nombres et de calcul des restes.
'a' et 'b' sont les deux nombres naturels, 'a' >= 'b'.
Divisez 'a' par 'b' et obtenez le reste de l'opération, 'r'.
Si 'r' = 0, STOP. 'b' = le PGCD de 'a' et 'b'.
Sinon : Remplacez ('a' par 'b') et ('b' par 'r'). Revenez à l'étape ci-dessus..
Étape 1. Divisez le plus grand nombre par le plus petit:
198 : 121 = 1 + 77
Étape 2. Divisez le plus petit nombre par le reste de l'opération ci-dessus:
121 : 77 = 1 + 44
Étape 3. Diviser le reste de l'étape 1 par le reste de l'étape 2:
77 : 44 = 1 + 33
Étape 4. Diviser le reste de l'étape 2 par le reste de l'étape 3:
44 : 33 = 1 + 11
Étape 5. Diviser le reste de l'étape 3 par le reste de l'étape 4:
33 : 11 = 3 + 0
A cette étape, le reste est nul, donc on s'arrête:
11 est le nombre que nous recherchions - le dernier reste non nul.
C'est le plus grand commun diviseur.
Le plus grand commun diviseur:
pgcd (198; 121) = 11
Les deux nombres ont des facteurs premiers communs
Pourquoi doit-on calculer le plus grand commun diviseur ?
Une fois que vous avez calculé le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur d'une fraction, il devient beaucoup plus facile de simplifier la fraction le plus possible, à la fraction équivalente la plus simple, irréductible (le plus petit numérateur et dénominateur possible).
Autres opérations similaires avec le plus grand commun diviseur :