pgcd (5.907 ; 7.257) = ? Calculer le plus grand commun diviseur des nombres, pgcd, par deux méthodes : 1) La décomposition en facteurs premiers (factorisation première) et 2) L'algorithme d'Euclide
pgcd (5.907; 7.257) = ?
Méthode 1. La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première):
La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) d'un nombre : trouver les nombres premiers qui se multiplient ensemble pour former ce nombre.
5.907 = 3 × 11 × 179
5.907 n'est pas un nombre premier mais un composé.
7.257 = 3 × 41 × 59
7.257 n'est pas un nombre premier mais un composé.
* Les nombres naturels qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes sont appelés nombres premiers. Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
* Un nombre composé est un nombre naturel qui a au moins un autre diviseur que 1 et lui-même.
Calculer le plus grand commun diviseur:
Multipliez tous les facteurs premiers communs, pris par leurs plus petites puissances (exposants).
Le plus grand commun diviseur,
pgcd (5.907; 7.257) = 3
Les deux nombres ont des facteurs premiers communs.
Faites défiler vers le bas pour la 2ème méthode...
Méthode 2. L'algorithme d'Euclide:
Cet algorithme implique le processus de division des nombres et de calcul des restes.
'a' et 'b' sont les deux nombres naturels, 'a' >= 'b'.
Divisez 'a' par 'b' et obtenez le reste de l'opération, 'r'.
Si 'r' = 0, STOP. 'b' = le PGCD de 'a' et 'b'.
Sinon : Remplacez ('a' par 'b') et ('b' par 'r'). Revenez à l'étape ci-dessus..
Étape 1. Divisez le plus grand nombre par le plus petit:
7.257 : 5.907 = 1 + 1.350
Étape 2. Divisez le plus petit nombre par le reste de l'opération ci-dessus:
5.907 : 1.350 = 4 + 507
Étape 3. Diviser le reste de l'étape 1 par le reste de l'étape 2:
1.350 : 507 = 2 + 336
Étape 4. Diviser le reste de l'étape 2 par le reste de l'étape 3:
507 : 336 = 1 + 171
Étape 5. Diviser le reste de l'étape 3 par le reste de l'étape 4:
336 : 171 = 1 + 165
Étape 6. Diviser le reste de l'étape 4 par le reste de l'étape 5:
171 : 165 = 1 + 6
Étape 7. Diviser le reste de l'étape 5 par le reste de l'étape 6:
165 : 6 = 27 + 3
Étape 8. Diviser le reste de l'étape 6 par le reste de l'étape 7:
6 : 3 = 2 + 0
A cette étape, le reste est nul, donc on s'arrête:
3 est le nombre que nous recherchions - le dernier reste non nul.
C'est le plus grand commun diviseur.
Le plus grand commun diviseur:
pgcd (5.907; 7.257) = 3
Les deux nombres ont des facteurs premiers communs
Pourquoi doit-on calculer le plus grand commun diviseur ?
Une fois que vous avez calculé le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur d'une fraction, il devient beaucoup plus facile de simplifier la fraction le plus possible, à la fraction équivalente la plus simple, irréductible (le plus petit numérateur et dénominateur possible).
Autres opérations similaires avec le plus grand commun diviseur :
Calculateur en ligne pour le plus grand commun diviseur, pgcd
Calculer le plus grand commun diviseur, pgcd, des nombres :
Méthode 1 : Décomposer les nombres en facteurs premiers (faire la factorisation première des nombres) - puis multiplier tous les facteurs premiers communs, pris par leurs plus petits exposants (puissances). S'il n'y a pas de facteurs premiers communs, alors pgcd est égal à 1.
Méthode 2 : L'algorithme d'Euclide.
Méthode 3 : La divisibilité des nombres.