Calculer le pgcd, le plus grand commun diviseur des nombres (5.972 ; 56). Calculatrice en ligne
Calculer le plus grand commun diviseur, pgcd (5.972; 56), en utilisant la décomposition en facteurs premiers, la divisibilité des nombres ou l'algorithme d'Euclide
Le plus grand commun diviseur et comment est-il calculé ?
Premiers pas et exemples
- 1. Facteurs d'un nombre :
- Les facteurs d'un nombre sont les nombres multipliés entre eux pour obtenir ce nombre.
- Exemples : 2 × 3 × 4 = 24 ; 4 × 9 = 36.
- Dans ces cas, nous disons que 2, 3 et 4 sont des facteurs de 24. Et 4 et 9 sont des facteurs de 36.
- 2. Divisibilité :
- Un nombre peut être divisé par n'importe lequel de ses facteurs sans reste.
- Dans ce cas, nous disons que le nombre est divisible par ses facteurs.
- Les nombres dans les exemples ci-dessus sont divisibles par leurs facteurs :
- 24 est divisible par 2, 3 et 4. Et 36 est divisible par 4 et 9.
- 3. Facteurs communs de plusieurs nombres :
- Les facteurs communs à plusieurs nombres sont appelés facteurs communs.
- Dans nos exemples, 4 est à la fois un facteur de 24 et de 36.
- 4. Le plus grand commun diviseur, PGCD, de plusieurs nombres
- Le plus grand facteur commun, PGCD, est le plus grand de tous les facteurs communs de ces différents nombres.
- 5. Comment le plus grand commun diviseur est-il calculé ? Étape 1.
- Dans nos exemples, nous pourrions être tentés de dire que 4 est le plus grand commun diviseur de 24 et 36. Mais, attendez. Essayons de diviser ces facteurs en facteurs aussi petits que possible.
- 24 pourrait s'écrire comme : 24 = 2 × 2 × 2 × 3.
- 36 pourrait également s'écrire comme : 36 = 2 × 2 × 3 × 3.
- Dans notre exemple, 2 et 3 ne peuvent pas être décomposés en d'autres nombres plus petits.
- 6. Nombres premiers :
- 2 et 3 ne peuvent pas être décomposés en d'autres nombres plus petits car ce sont des nombres premiers. C'est la définition même des nombres premiers :
- Un nombre premier n'a pas d'autres facteurs que 1 et lui-même car il ne peut pas être décomposé en d'autres nombres plus petits.
- Exemples de nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, etc., c'est une liste infinie.
- 7. Comment calcule-t-on le plus grand commun diviseur, PGCD ? Étape 2.
- Nous avons vu qu'il est judicieux de décomposer les nombres en facteurs aussi petits que possible, en les écrivant comme un produit de facteurs premiers. C'est la définition de la décomposition d'un nombre en facteurs premiers.
- La décomposition en facteurs premiers de 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3.
- La décomposition en facteurs premiers de 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 22 × 32.
- Pour calculer le PGCD, il suffit de choisir tous les facteurs premiers communs des deux nombres et de les multiplier :
- PGCD (24 et 36) = 2 × 2 × 3 = 22 × 3 = 12.
Calculer le plus grand commun diviseur
pgcd (5.972; 56) = ?
Méthode 1. La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première):
La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) d'un nombre : trouver les nombres premiers qui se multiplient ensemble pour former ce nombre.
5.972 = 22 × 1.493
5.972 n'est pas un nombre premier mais un composé.
56 = 23 × 7
56 n'est pas un nombre premier mais un composé.
* Les nombres naturels qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes sont appelés nombres premiers. Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
* Un nombre composé est un nombre naturel qui a au moins un autre diviseur que 1 et lui-même.
Calculer le plus grand commun diviseur:
Multipliez tous les facteurs premiers communs, pris par leurs plus petites puissances (exposants).
Le plus grand commun diviseur,
pgcd (5.972; 56) = 22 = 4
Les deux nombres ont des facteurs premiers communs.
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Méthode 2. L'algorithme d'Euclide:
Cet algorithme implique le processus de division des nombres et de calcul des restes.
'a' et 'b' sont les deux nombres naturels, 'a' >= 'b'.
Divisez 'a' par 'b' et obtenez le reste de l'opération, 'r'.
Si 'r' = 0, STOP. 'b' = le PGCD de 'a' et 'b'.
Sinon : Remplacez ('a' par 'b') et ('b' par 'r'). Revenez à l'étape ci-dessus..
Étape 1. Divisez le plus grand nombre par le plus petit:
5.972 : 56 = 106 + 36
Étape 2. Divisez le plus petit nombre par le reste de l'opération ci-dessus:
56 : 36 = 1 + 20
Étape 3. Diviser le reste de l'étape 1 par le reste de l'étape 2:
36 : 20 = 1 + 16
Étape 4. Diviser le reste de l'étape 2 par le reste de l'étape 3:
20 : 16 = 1 + 4
Étape 5. Diviser le reste de l'étape 3 par le reste de l'étape 4:
16 : 4 = 4 + 0
A cette étape, le reste est nul, donc on s'arrête:
4 est le nombre que nous recherchions - le dernier reste non nul.
C'est le plus grand commun diviseur.
Le plus grand commun diviseur:
pgcd (5.972; 56) = 4 = 22
Les deux nombres ont des facteurs premiers communs
Pourquoi doit-on calculer le plus grand commun diviseur ?
Une fois que vous avez calculé le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur d'une fraction, il devient beaucoup plus facile de simplifier la fraction le plus possible, à la fraction équivalente la plus simple, irréductible (le plus petit numérateur et dénominateur possible).
Autres opérations similaires avec le plus grand commun diviseur :