pgcd (6.123 ; 4.707) = ? Calculer le plus grand commun diviseur des nombres, pgcd, par deux méthodes : 1) La décomposition en facteurs premiers (factorisation première) et 2) L'algorithme d'Euclide

pgcd (6.123; 4.707) = ?

Les deux méthodes utilisées ci-dessous pour calculer le plus grand commun diviseur : [1] La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) [2] L'algorithme d'Euclide

Méthode 1. La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première):

La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) d'un nombre : trouver les nombres premiers qui se multiplient ensemble pour former ce nombre.


6.123 = 3 × 13 × 157
6.123 n'est pas un nombre premier mais un composé.


4.707 = 32 × 523
4.707 n'est pas un nombre premier mais un composé.


* Les nombres naturels qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes sont appelés nombres premiers. Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
* Un nombre composé est un nombre naturel qui a au moins un autre diviseur que 1 et lui-même.



Calculer le plus grand commun diviseur:

Multipliez tous les facteurs premiers communs, pris par leurs plus petites puissances (exposants).


Le plus grand commun diviseur,
pgcd (6.123; 4.707) = 3
Les deux nombres ont des facteurs premiers communs.
Faites défiler vers le bas pour la 2ème méthode...

Méthode 2. L'algorithme d'Euclide:

Cet algorithme implique le processus de division des nombres et de calcul des restes.


'a' et 'b' sont les deux nombres naturels, 'a' >= 'b'.


Divisez 'a' par 'b' et obtenez le reste de l'opération, 'r'.


Si 'r' = 0, STOP. 'b' = le PGCD de 'a' et 'b'.


Sinon : Remplacez ('a' par 'b') et ('b' par 'r'). Revenez à l'étape ci-dessus..




Étape 1. Divisez le plus grand nombre par le plus petit:
6.123 : 4.707 = 1 + 1.416
Étape 2. Divisez le plus petit nombre par le reste de l'opération ci-dessus:
4.707 : 1.416 = 3 + 459
Étape 3. Diviser le reste de l'étape 1 par le reste de l'étape 2:
1.416 : 459 = 3 + 39
Étape 4. Diviser le reste de l'étape 2 par le reste de l'étape 3:
459 : 39 = 11 + 30
Étape 5. Diviser le reste de l'étape 3 par le reste de l'étape 4:
39 : 30 = 1 + 9
Étape 6. Diviser le reste de l'étape 4 par le reste de l'étape 5:
30 : 9 = 3 + 3
Étape 7. Diviser le reste de l'étape 5 par le reste de l'étape 6:
9 : 3 = 3 + 0
A cette étape, le reste est nul, donc on s'arrête:
3 est le nombre que nous recherchions - le dernier reste non nul.
C'est le plus grand commun diviseur.


Le plus grand commun diviseur:
pgcd (6.123; 4.707) = 3
Les deux nombres ont des facteurs premiers communs

Pourquoi doit-on calculer le plus grand commun diviseur ?

Une fois que vous avez calculé le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur d'une fraction, il devient beaucoup plus facile de simplifier la fraction le plus possible, à la fraction équivalente la plus simple, irréductible (le plus petit numérateur et dénominateur possible).


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Calculateur en ligne pour le plus grand commun diviseur, pgcd

Calculer le plus grand commun diviseur, pgcd, des nombres :

Méthode 1 : Décomposer les nombres en facteurs premiers (faire la factorisation première des nombres) - puis multiplier tous les facteurs premiers communs, pris par leurs plus petits exposants (puissances). S'il n'y a pas de facteurs premiers communs, alors pgcd est égal à 1.

Méthode 2 : L'algorithme d'Euclide.

Méthode 3 : La divisibilité des nombres.

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