pgcd (7 ; 999.999.999.999) = ? Plus grand commun diviseur

Calculer le plus grand commun diviseur, pgcd (7; 999.999.999.999), en utilisant leur décomposition en facteurs premiers, la divisibilité des nombres ou l'algorithme d'Euclide

Méthode 1. La divisibilité des nombres:

Divisez le plus grand nombre par le plus petit.

Veuillez noter que lorsque les nombres sont divisés, le reste est égal à zéro:

999.999.999.999 : 7 = 142.857.142.857 + 0

⇒ 999.999.999.999 = 7 × 142.857.142.857

Ainsi, 999.999.999.999 est divisible par 7.

Et 7 est un diviseur de 999.999.999.999.

De plus, le plus grand diviseur de 7 est le nombre lui-même, 7.

» Calculateur en ligne. La divisibilité des nombres


Le plus grand commun diviseur,
pgcd (7; 999.999.999.999) = 7
999.999.999.999 est divisible par 7
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Méthode 2. La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première):

La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) d'un nombre : trouver les nombres premiers qui se multiplient ensemble pour former ce nombre.

7 est un nombre premier et ne peut être décomposé en d'autres facteurs premiers.

999.999.999.999 = 33 × 7 × 11 × 13 × 37 × 101 × 9.901
999.999.999.999 n'est pas un nombre premier mais un composé.

» Calculateur en ligne. Vérifier si un nombre est premier ou non. La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) des nombres composés

* Les nombres naturels qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes sont appelés nombres premiers. Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
* Un nombre composé est un nombre naturel qui a au moins un autre diviseur que 1 et lui-même.


Calculer le plus grand commun diviseur:

Multipliez tous les facteurs premiers communs, pris par leurs plus petites puissances (exposants).


Le plus grand commun diviseur,
pgcd (7; 999.999.999.999) = 7
999.999.999.999 contient tous les facteurs premiers du nombre 7
999.999.999.999 est divisible par 7.

Pourquoi doit-on calculer le plus grand commun diviseur ?

Une fois que vous avez calculé le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur d'une fraction, il devient beaucoup plus facile de simplifier la fraction le plus possible, à la fraction équivalente la plus simple, irréductible (le plus petit numérateur et dénominateur possible).


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Le plus grand commun diviseur, pgcd. Qu'est-ce que c'est et comment le calculer

  • Note : La décomposition d'un nombre en facteurs premiers (la factorisation première d'un nombre) consiste à écrire un nombre naturel supérieur à 1 sous la forme d'un produit de nombres premiers.
  • Supposons que le nombre "t" divise le nombre "a" sans reste.
  • Lorsque nous examinons la factorisation première de "a" et "t", nous constatons que :
  • 1) tous les facteurs premiers de "t" sont aussi des facteurs premiers de "a"
  • et
  • 2) les exposants (puissances) des facteurs premiers de "t" sont égaux ou inférieurs aux exposants des facteurs premiers de "a" (voir la * note ci-dessous)
  • Par exemple, le nombre 12 est un diviseur du nombre 60 :
  • 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3
  • 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 22 × 3 × 5
  • * Note: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. On dit 2 à la puissance 3 - ou - 2 exposant 3. Dans cet exemple, 3 est l'exposant et 2 la base. L'exposant indique combien de fois la base est multipliée par elle-même. 23 est la puissance et 8 est la valeur de la puissance.
  • Si le nombre "t" est un diviseur commun des nombres "a" et "b", alors :
  • 1) "t" n'a que des facteurs premiers qui interviennent également dans la factorisation première de "a" et "b".
  • et
  • 2) chaque facteur premier de "t" a les plus petits exposants par rapport aux facteurs premiers des nombres "a" et "b".
  • Par exemple, le nombre 12 est le diviseur commun des nombres 48 et 360. Voici ci-dessous leur factorisation première :
  • 12 = 22 × 3
  • 48 = 24 × 3
  • 360 = 23 × 32 × 5
  • Vous pouvez voir que le nombre 12 n'a que les facteurs premiers qui se produisent également dans la décomposition en facteurs premiers des nombres 48 et 360.
  • Vous pouvez voir ci-dessus que les nombres 48 et 360 contiennent plusieurs facteurs communs : 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Parmi ceux-ci, 24 est le plus grand commun diviseur (pgcd) de 48 et 360.
  • 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3
  • 48 = 24 × 3
  • 360 = 23 × 32 × 5
  • 24, le plus grand diviseur commun des nombres 48 et 360, est calculé comme le produit de tous les facteurs premiers communs des deux nombres, pris par les plus petits exposants (puissances).
  • Si deux nombres "a" et "b" n'ont pas d'autre diviseur commun que 1, pgcd (a, b) = 1, alors les nombres "a" et "b" sont appelés nombres premiers entre eux.
  • Si "a" et "b" ne sont pas premiers entre eux, alors chaque diviseur commun de "a" et "b" est un diviseur du plus grand commun diviseur de "a" et "b".
  • Prenons un exemple sur la façon de calculer le plus grand commun diviseur, pgcd, des nombres suivants :
  • 1.260 = 22 × 32
  • 3.024 = 24 × 32 × 7
  • 5.544 = 23 × 32 × 7 × 11
  • pgcd (1.260, 3.024, 5.544) = 22 × 32 = 252
  • Et un autre exemple :
  • 900 = 22 × 32 × 52
  • 270 = 2 × 33 × 5
  • 210 = 2 × 3 × 5 × 7
  • pgcd (900, 270, 210) = 2 × 3 × 5 = 30
  • Et encore un exemple :
  • 90 = 2 × 32 × 5
  • 27 = 33
  • 22 = 2 × 11
  • pgcd (90, 27, 22) = 1 - Les trois nombres n'ont pas de facteurs premiers en commun, ils sont premiers entre eux.