pgcd (72; 162) = ? Calculez le plus grand commun diviseur des nombres, PGCD, en utilisant la calculatrice en ligne

Calculer le plus grand commun diviseur (72; 162) = ? Méthode 1. La décomposition des nombres en facteurs premiers. Méthode 2. Algorithme d' Euclide.

Méthode 1. La décomposition des nombres en facteurs premiers:

Décomposition d'un nombre en facteurs premiers: il s'agit de trouver les nombres premiers qui se multiplient pour former ce nombre.


72 = 23 × 32;
72 n'est pas un nombre premier, est un nombre composé;


162 = 2 × 34;
162 n'est pas un nombre premier, est un nombre composé;


* Les nombres qui ne se divisent que par eux-mêmes et par 1, s'appellent des nombres premiers. Un nombre premier n'a que deux diviseurs: 1 et lui-même.
* Un nombre composé est un entier naturel différent de 0 qui possède un diviseur positif autre que 1 ou lui-même.


Calculer le plus grand commun diviseur:

Prenez tous les facteurs premiers communs, par les puissances les plus bas.


pgcd (72; 162) = 2 × 32



pgcd (72; 162) = 2 × 32 = 18;
Les nombres ont des facteurs premiers communs.


Méthode 2. Algorithme d' Euclide:

Cet algorithme implique l'opération de division et de calcul des restes.


'a' et 'b' sont les deux entiers positifs, 'a' >= 'b'.


Divisez 'a' par 'b' et obtenez le reste, 'r'.


Si 'r' = 0, STOP. 'b' = le PGCD de 'a' et 'b'.


Sinon: Remplacez ('a' par 'b') et ('b' par 'r'). Revenir à l'étape de la division, ci-dessus.



L'opération 1. On divise le nombre le plus grand au nombre le plus petit:
162 : 72 = 2 + 18;
L'opération 2. On divise le nombre le plus petit au reste de l'opération ci-dessus:
72 : 18 = 4 + 0;
En ce moment, comme il n'y a plus de reste, on s'arrête:
18 est le nombre recherché, le dernier reste différent de zéro.
Ceci est le plus grand commun diviseur.


Le plus grand commun diviseur:
pgcd (72; 162) = 18

Pourquoi la réponse est-elle un diviseur des valeurs initiales 'a' et 'b'?

Remarque: 'a' : 'b' = 'q' + 'r' est équivalente à l'équation: 'a' = 'q' × 'b' + 'r', où 'q' est le quotient de l'opération.


Lorsque la valeur finale de 'r' = 0, la valeur finale de 'b' est un diviseur de la valeur finale de 'a', puisque 'a' = 'q' × 'b' + 0.


Revenez en arrière dans chacune des étapes précédentes et analysez chaque équation, 'a' = 'q' × 'b' + 'r', et notez qu'à chaque étape la valeur finale de 'b' est un diviseur de chaque valeur de 'r' et de chaque valeur de 'b' et est donc un diviseur de chaque valeur de 'a'. Ainsi, la dernière valeur de 'b', qui est le dernier reste différent de zéro, est un diviseur des valeurs initiales de 'a' et 'b'.


Pourquoi la réponse est-elle égale au PGCD?

Regardez toutes les équations: 'a' = 'q' × 'b' + 'r'. Comme nous l'avons vu ci-dessus, la valeur finale de 'b' est un diviseur de toutes les valeurs de 'a', 'b' et 'r'.


Par conséquent, la valeur finale de 'b' doit également être un diviseur de la dernière valeur de 'r', celle qui est différente de zéro. Et la valeur finale de 'b' ne pourrait pas être supérieure à cette dernière valeur de 'r'. Puisque la valeur finale de 'b' est égale à cette dernière valeur de 'r', donc la valeur finale de 'b' est le plus grand diviseur des valeurs initiales de ('a' et 'b'). Et par définition, il est appelé le plus grand commun diviseur des nombres.


pgcd (72; 162) = 18 = 2 × 32;

Réponse finale:
Le plus grand commun diviseur
pgcd (72; 162) = 18 = 2 × 32;
Les nombres ont des facteurs premiers communs.

Pourquoi avons-nous besoin du plus grand commun diviseur?

Lorsque vous connaissez le PGCD du numérateur et du dénominateur d'une fraction, il devient plus facile de le simplifier (rendre irréductible), pour l'écrire sous la forme la plus simplifiée possible.



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Calculatrice: calculez pgcd, plus grand commun diviseur

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Teorie: le plus grand commun diviseur PGCD

Si "t" est un diviseur de "a", alors à la décomposition en facteurs de "t" il y a seulement des nombres premiers qui apparaissent aussi à la décomposition de "a" et qui peuvent avoir les exposants au plus égaux avec ceux qui interviennent dans la décomposition de "a".

Par exemple, 12 est le diviseur de 60:
12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 22 × 3 × 5

Si "t" est le diviseur commun de "a" et "b", alors "t" a seulement des facteurs premiers qui interviennent en même temps chez "a" et "b", chaque facteur au plus petit pouvoir.

Par exemple, 12 est le diviseur commun de 48 et 360. De la décomposition en facteurs premiers:
12 = 22 × 3
48 = 24 × 3
360 = 23 × 32 × 5
On observe que 48 et 360 ont plusieurs diviseurs communs: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Parmi eux, 24 est le plus grand commun diviseur (pgcd) de 48 et 360.

Si deux nombres, "a" et "b", n'ont pas d'autre commun que 1, pgcd (a, b) = 1, nombres "a" et "b" s'appellent premiers entre eux.

Si "a" et "b" nu sont premiers entre eux, alors chaque diviseur commun de "a" et "b" est un diviseur du plus grand commun diviseur de "a" et "b", car le plus grand commun diviseur est le produit de tous les facteurs premiers qui interviennent en "a" et "b", au plus petit pouvoir. Sur ce procédé on se base pour trouver le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres, selon ce qui résulte de l'exemple ci-dessous.
Exemple de détermination du pgcd:
1260 = 22 × 32
3024 = 24 × 32 × 7
5544 = 23 × 32 × 7 × 11
pgcd(1260, 3024, 5544) = 22 × 32 = 252


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