pgcd (8.540 ; 1.313) = ? Calculer le plus grand commun diviseur des nombres, pgcd, par deux méthodes : 1) La décomposition en facteurs premiers (factorisation première) et 2) L'algorithme d'Euclide
pgcd (8.540; 1.313) = ?
Les deux méthodes utilisées ci-dessous pour calculer le plus grand commun diviseur : [1] La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) [2] L'algorithme d'Euclide
Méthode 1. La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première):
La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) d'un nombre : trouver les nombres premiers qui se multiplient ensemble pour former ce nombre.
8.540 = 22 × 5 × 7 × 61
8.540 n'est pas un nombre premier mais un composé.
1.313 = 13 × 101
1.313 n'est pas un nombre premier mais un composé.
* Les nombres naturels qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes sont appelés nombres premiers. Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
* Un nombre composé est un nombre naturel qui a au moins un autre diviseur que 1 et lui-même.
Calculer le plus grand commun diviseur:
Multipliez tous les facteurs premiers communs, pris par leurs plus petites puissances (exposants).
Mais les deux nombres n'ont pas de facteurs premiers communs.
Le plus grand commun diviseur,
pgcd (8.540; 1.313) = 1
Nombres premiers entre eux.
Faites défiler vers le bas pour la 2ème méthode...
Méthode 2. L'algorithme d'Euclide:
Cet algorithme implique le processus de division des nombres et de calcul des restes.
'a' et 'b' sont les deux nombres naturels, 'a' >= 'b'.
Divisez 'a' par 'b' et obtenez le reste de l'opération, 'r'.
Si 'r' = 0, STOP. 'b' = le PGCD de 'a' et 'b'.
Sinon : Remplacez ('a' par 'b') et ('b' par 'r'). Revenez à l'étape ci-dessus..
Étape 1. Divisez le plus grand nombre par le plus petit:
8.540 : 1.313 = 6 + 662
Étape 2. Divisez le plus petit nombre par le reste de l'opération ci-dessus:
1.313 : 662 = 1 + 651
Étape 3. Diviser le reste de l'étape 1 par le reste de l'étape 2:
662 : 651 = 1 + 11
Étape 4. Diviser le reste de l'étape 2 par le reste de l'étape 3:
651 : 11 = 59 + 2
Étape 5. Diviser le reste de l'étape 3 par le reste de l'étape 4:
11 : 2 = 5 + 1
Étape 6. Diviser le reste de l'étape 4 par le reste de l'étape 5:
2 : 1 = 2 + 0
A cette étape, le reste est nul, donc on s'arrête:
1 est le nombre que nous recherchions - le dernier reste non nul.
C'est le plus grand commun diviseur.
Le plus grand commun diviseur:
pgcd (8.540; 1.313) = 1
Nombres premiers entre eux.
Les deux nombres n'ont pas de facteurs premiers en commun
Pourquoi doit-on calculer le plus grand commun diviseur ?
Une fois que vous avez calculé le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur d'une fraction, il devient beaucoup plus facile de simplifier la fraction le plus possible, à la fraction équivalente la plus simple, irréductible (le plus petit numérateur et dénominateur possible).
Autres opérations similaires avec le plus grand commun diviseur :
Calculateur en ligne pour le plus grand commun diviseur, pgcd
Calculer le plus grand commun diviseur, pgcd, des nombres :
Méthode 1 : Décomposer les nombres en facteurs premiers (faire la factorisation première des nombres) - puis multiplier tous les facteurs premiers communs, pris par leurs plus petits exposants (puissances). S'il n'y a pas de facteurs premiers communs, alors pgcd est égal à 1.
Méthode 2 : L'algorithme d'Euclide.
Méthode 3 : La divisibilité des nombres.
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Le plus grand commun diviseur, pgcd. Qu'est-ce que c'est et comment le calculer
- Note : La décomposition d'un nombre en facteurs premiers (la factorisation première d'un nombre) consiste à écrire un nombre naturel supérieur à 1 sous la forme d'un produit de nombres premiers.
- Supposons que le nombre "t" divise le nombre "a" sans reste.
- Lorsque nous examinons la factorisation première de "a" et "t", nous constatons que :
- 1) tous les facteurs premiers de "t" sont aussi des facteurs premiers de "a"
- et
- 2) les exposants (puissances) des facteurs premiers de "t" sont égaux ou inférieurs aux exposants des facteurs premiers de "a" (voir la * note ci-dessous)
- Par exemple, le nombre 12 est un diviseur du nombre 60 :
- 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3
- 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 22 × 3 × 5
- * Note: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. On dit 2 à la puissance 3 - ou - 2 exposant 3. Dans cet exemple, 3 est l'exposant et 2 la base. L'exposant indique combien de fois la base est multipliée par elle-même. 23 est la puissance et 8 est la valeur de la puissance.
- Si le nombre "t" est un diviseur commun des nombres "a" et "b", alors :
- 1) "t" n'a que des facteurs premiers qui interviennent également dans la factorisation première de "a" et "b".
- et
- 2) chaque facteur premier de "t" a les plus petits exposants par rapport aux facteurs premiers des nombres "a" et "b".
- Par exemple, le nombre 12 est le diviseur commun des nombres 48 et 360. Voici ci-dessous leur factorisation première :
- 12 = 22 × 3
- 48 = 24 × 3
- 360 = 23 × 32 × 5
- Vous pouvez voir que le nombre 12 n'a que les facteurs premiers qui se produisent également dans la décomposition en facteurs premiers des nombres 48 et 360.
- Vous pouvez voir ci-dessus que les nombres 48 et 360 contiennent plusieurs facteurs communs : 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Parmi ceux-ci, 24 est le plus grand commun diviseur (pgcd) de 48 et 360.
- 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3
- 48 = 24 × 3
- 360 = 23 × 32 × 5
- 24, le plus grand diviseur commun des nombres 48 et 360, est calculé comme le produit de tous les facteurs premiers communs des deux nombres, pris par les plus petits exposants (puissances).
- Si deux nombres "a" et "b" n'ont pas d'autre diviseur commun que 1, pgcd (a, b) = 1, alors les nombres "a" et "b" sont appelés nombres premiers entre eux.
- Si "a" et "b" ne sont pas premiers entre eux, alors chaque diviseur commun de "a" et "b" est un diviseur du plus grand commun diviseur de "a" et "b".
- Prenons un exemple sur la façon de calculer le plus grand commun diviseur, pgcd, des nombres suivants :
- 1.260 = 22 × 32
- 3.024 = 24 × 32 × 7
- 5.544 = 23 × 32 × 7 × 11
- pgcd (1.260, 3.024, 5.544) = 22 × 32 = 252
- Et un autre exemple :
- 900 = 22 × 32 × 52
- 270 = 2 × 33 × 5
- 210 = 2 × 3 × 5 × 7
- pgcd (900, 270, 210) = 2 × 3 × 5 = 30
- Et encore un exemple :
- 90 = 2 × 32 × 5
- 27 = 33
- 22 = 2 × 11
- pgcd (90, 27, 22) = 1 - Les trois nombres n'ont pas de facteurs premiers en commun, ils sont premiers entre eux.
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