Décomposition en facteurs premiers. Nombres premiers et composés
[1] La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) d'un nombre : trouver les nombres premiers qui se multiplient ensemble pour faire ce nombre.
Exemple: 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3.
[2] Nombre premier : un nombre naturel qui n'est divisible (il est divisé sans reste) que par 1 et lui-même. Un nombre premier n'a que deux diviseurs : 1 et le nombre lui-même.
Exemples: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
Il n'y a qu'un seul nombre premier qui est un nombre pair : 2. Tous les autres nombres premiers sont des nombres impairs.
[3] Nombre composé : un nombre naturel qui a au moins un diviseur différent de 1 et de lui-même. Un nombre composé a au moins trois diviseurs. Un nombre composé est aussi un nombre qui n'est pas un nombre premier.
Exemples: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16.
Les nombres composés sont constitués de nombres premiers multipliés entre eux.
1.648.489 n'est pas un nombre premier mais un composé.
La décomposition d'un nombre en facteurs premiers (la factorisation première) - comment ça se fait ?
Apprenons en ayant un exemple :
Prenez le nombre 220 et décomposez-le en ses facteurs premiers (faites sa factorisation première)
Nous avons besoin de la liste des premiers nombres premiers, ordonnés de 2 à, disons, 20 :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Les nombres premiers sont les blocs de construction des nombres composés.
1. Commencez par diviser 220 par le plus petit nombre premier, 2 :
220 : 2 = 110 reste = 0 ⇒
220 est divisible par 2 ⇒ 2 est un facteur premier de 220 :
220 = 2 × 110
2. Divisez à nouveau le résultat de l'opération précédente, 110, par 2 :
110 : 2 = 55 reste = 0 ⇒
110 est divisible par 2 ⇒ 2 est un facteur premier de 110:
220 = 2 × 110 = 2 × 2 × 55.
3. Divisez à nouveau le résultat de l'opération précédente, 55, par 2:
55 : 2 = 27 + 1; reste = 1 ⇒
55 n'est pas divisible par 2
4. Passez au nombre premier suivant, 3. Divisez 55 par 3 :
55 : 3 = 18 + 1; reste = 1 ⇒
55 n'est pas divisible par 3
5. Passez au nombre premier suivant, 5. Divisez 55 par 5 :
55 : 5 = 11; reste = 0 ⇒
55 est divisible par 5 ⇒ 5 est un facteur premier de 55:
220 = 2 × 2 × 55 = 2 × 2 × 5 × 11.
6. Notez que le facteur restant, 11, est un nombre premier, nous avons donc déjà trouvé tous les facteurs premiers de 220.
En conclusion, la décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) de 220 :
220 = 2 × 2 × 5 × 11.
Cela peut être écrit sous une forme condensée, en notation exponentielle :
220 = 22 × 5 × 11.