La décomposition en facteurs premiers de 6.542.765.919, la factorisation première. Le nombre composé écrit comme un produit de nombres premiers (avec des exposants, puissances)
La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) du nombre composé 6.542.765.919
La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) d'un nombre : trouver les nombres premiers qui se multiplient ensemble pour faire ce nombre.
Exemple: 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3.
Nombre premier : un nombre naturel qui n'est divisible (il est divisé sans reste) que par 1 et lui-même. Un nombre premier n'a que deux diviseurs : 1 et le nombre lui-même.
Exemples: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
Nombre composé : un nombre naturel qui a au moins un diviseur différent de 1 et de lui-même. Un nombre composé a au moins trois diviseurs. Un nombre composé est aussi un nombre qui n'est pas un nombre premier.
Exemples: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16.
Les nombres 0 et 1 ne sont considérés ni comme des nombres premiers ni comme des nombres composés.
6.542.765.919 peut s'écrire sous la forme d'un produit de nombres premiers.
Comment?
6.542.765.919 n'est pas un nombre premier mais un composé.
La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) du nombre composé 6.542.765.919:
(la décomposition écrite comme un produit de facteurs premiers)
6.542.765.919 = 3 × 3 × 19 × 38.261.789
La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) écrite sous la forme d'un produit de puissances de facteurs premiers (avec exposants): *
6.542.765.919 = 32 × 19 × 38.261.789
* Un nombre écrit avec des exposants est une base à la puissance de l'exposant. L'exposant indique combien de fois la base est multipliée par elle-même : 53 = 5 × 5 × 5 = 125. On dit 5 à la puissance 3 - ou - 5 exposant 3. 53 est la puissance, 5 est la base, 3 est l'exposant et 125 est la valeur de la puissance.
Les nombres premiers sont les blocs de construction de tous les nombres sauf 0 et 1.
Les nombres composés sont constitués de nombres premiers multipliés entre eux.
Il n'y a qu'un seul nombre premier qui est un nombre pair : 2. Tous les autres nombres premiers sont des nombres impairs.
La décomposition d'un nombre en facteurs premiers (la factorisation première) - comment ça se fait ?
Apprenons en ayant un exemple :
- Prenez le nombre 220 et décomposez-le en ses facteurs premiers (faites sa factorisation première)
Nous avons besoin de la liste des premiers nombres premiers, ordonnés de 2 à, disons, 20 :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Les nombres premiers sont les blocs de construction des nombres composés.
1. Commencez par diviser 220 par le plus petit nombre premier, 2 :
220 : 2 = 110 reste = 0 =>
220 est divisible par 2 => 2 est un facteur premier de 220 :
220 = 2 × 110
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2. Divisez à nouveau le résultat de l'opération précédente, 110, par 2 :
110 : 2 = 55 reste = 0 =>
110 est divisible par 2 => 2 est un facteur premier de 110:
220 = 2 × 110 = 2 × 2 × 55.
3. Divisez à nouveau le résultat de l'opération précédente, 55, par 2:
55 : 2 = 27 + 1; reste = 1 =>
55 n'est pas divisible par 2
4. Passez au nombre premier suivant, 3. Divisez 55 par 3 :
55 : 3 = 18 + 1; reste = 1 =>
55 n'est pas divisible par 3
5. Passez au nombre premier suivant, 5. Divisez 55 par 5 :
55 : 5 = 11; reste = 0 =>
55 est divisible par 5 => 5 est un facteur premier de 55:
220 = 2 × 2 × 55 = 2 × 2 × 5 × 11.
6. Notez que le facteur restant, 11, est un nombre premier, nous avons donc déjà trouvé tous les facteurs premiers de 220.
En conclusion, la décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) de 220 :
220 = 2 × 2 × 5 × 11.
Cela peut être écrit sous une forme condensée, en notation exponentielle :
220 = 22 × 5 × 11.
Autres opérations similaires avec facteurs premiers :
Les 5 derniers nombres vérifiés s'ils sont premiers ou composés et également décomposés en facteurs premiers (la factorisation première)
Vérifier si un nombre est premier ou non. Décomposer les nombres composés en facteurs premiers (faire leur factorisation première)
La décomposition d'un nombre en facteurs premiers (la factorisation première d'un nombre) = consiste à écrire un nombre naturel supérieur à 1 sous la forme d'un produit de nombres premiers.
Un nombre premier est un nombre naturel qui n'est divisible que par 1 et lui-même. 1 n'est pas considéré comme un nombre premier.
Nombres premiers. Nombres composés. La décomposition en facteurs premiers des nombres composés (la factorisation première)
- Note : La décomposition d'un nombre en facteurs premiers (la factorisation première d'un nombre) consiste à écrire un nombre naturel supérieur à 1 sous la forme d'un produit de nombres premiers.
- Le théorème fondamental de l'arithmétique dit que tout entier supérieur à 1 peut être écrit comme un produit d'un ou plusieurs nombres premiers, d'une manière qui est unique, à l'exception de l'ordre des facteurs premiers.
- Le nombre 1 n'est pas considéré comme premier, donc le plus petit nombre premier est 2.
- Si le nombre 1 était considéré comme un nombre premier, alors la factorisation première du nombre 15 pourrait s'écrire : 15 = 3 × 5 OU 15 = 1 × 3 × 5 - ces deux représentations seraient considérées comme des factorisations premières différentes du même nombre, donc le théorème ci-dessus n'aurait plus été valide.
- Les nombres naturels qui se divisent sans reste uniquement par 1 et eux-mêmes sont appelés nombres premiers.
- Exemples de nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, etc.
- Si un nombre est premier, il ne peut pas être décomposé en d'autres facteurs premiers, il n'est divisible que par 1 et lui-même - le nombre lui-même est appelé dans ce cas un diviseur trivial (non-strict, impropre). Aussi 1 est parfois considéré comme un diviseur trivial.
- Un nombre composé est un nombre naturel qui a au moins un autre diviseur que 1 et le nombre lui-même.
- Un nombre composé est également tout nombre naturel supérieur à 1 qui n'est pas un nombre premier.
- Exemples de nombres composés : 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, etc.
- Un nombre premier ne peut pas être décomposé en d'autres facteurs premiers, mais un nombre composé, il peut, comme indiqué ci-dessous :
- Exemple 1 : 6 est divisible par 6, 3, 2 et 1, donc 6 n'est pas un nombre premier, c'est un nombre composé. 6 peut être écrit comme un produit de nombres de différentes manières, comme suit : 6 = 1 × 6, ou 6 = 1 × 2 × 3 ou 6 = 2 × 3. Mais sa décomposition en facteurs premiers (sa factorisation première), quel que soit l'ordre des facteurs, est toujours : 6 = 2 × 3.
- Exemple 2 : 120 peut être écrit comme un produit de nombres de différentes manières, comme suit : 120 = 4 × 30 ou 120 = 2 × 2 × 2 × 15 ou 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5. Sa décomposition en facteurs premiers (sa factorisation première), quel que soit l'ordre des facteurs, est toujours : 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 23 × 3 × 5 - la dernière forme d'écriture est la forme condensée, avec exposants, de la première forme, la plus longue.
- * Note : 23 = 2 × 2 × 2 = 8. On dit 2 à la puissance 3 - ou - 2 exposant 3. Dans cet exemple, 3 est l'exposant et 2 la base. L'exposant indique combien de fois la base est multipliée par elle-même. 23 est la puissance et 8 est la valeur de la puissance.
- Pourquoi est-il important de connaître la décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) des nombres ?
- La factorisation première est utile lors du calcul du plus grand commun diviseur, pgcd.
- Le PGCD est nécessaire pour simplifier les fractions le plus possible, à leurs formes équivalentes les plus simples (le plus petit numérateur et dénominateur).
- La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) est pratique lors du calcul du plus petit commun multiple, ppcm, de nombres - cela est nécessaire lors de l'addition ou de la soustraction de fractions, par exemple...
- Et les exemples pourraient continuer (divisibilité des nombres, calculer tous les diviseurs d'un nombre à partir de sa factorisation première, etc...).
- Exemple de plus de nombres premiers :
- 181 n'est divisible que par 181 et 1, donc 181 est un nombre premier.
- 2.341 n'est divisible que par 2.341 et 1, donc 2.341 est un nombre premier.
- 6.991 n'est divisible que par 6.991 et 1, donc 6.991 est un nombre premier.
- Voici la liste de tous les nombres premiers, de 1 à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
- Les nombres premiers sont utilisés comme blocs de base lors de la construction de la factorisation première des nombres composés. On pourrait donc dire que les nombres premiers sont vraiment les blocs de base des nombres composés.
Quelques articles concernant les nombres premiers