Opérations mathématiques avec des nombres premiers
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Les liens vers les principaux calculateurs sont répertoriés ci-dessous :
Les 3 derniers nombres vérifiés s'ils sont premiers ou composés et également décomposés en facteurs premiers (la factorisation première)
Le plus grand commun diviseur, pgcd : le 3 dernier calculé
Le plus petit commun multiple, ppcm : le 3 dernier calculé
Les 3 dernières fractions qui ont été simplifiées le plus possible (à leurs fractions équivalentes les plus simples, les plus petits numérateur et dénominateur possibles)
Les 3 dernières paires de nombres qui ont été vérifiées si elles sont divisibles ou non
Les 3 derniers ensembles de diviseurs calculés : d'un nombre ou tous les diviseurs communs de deux nombres
Les 3 dernières paires de nombres qui ont été vérifiées: sont-ils premiers entre eux ou non ?
Les 3 derniers nombres vérifiés : nombre pair ou impair ?
1. Nombres premiers. 2. Le théorème fondamental de l'arithmétique. 3. Nombres composés. 4. Remarques
1. Nombres premiers
- Un nombre premier est un nombre naturel, supérieur à 1, qui se divise sans reste uniquement par lui-même et le nombre 1.
- Tout nombre premier "m" n'a que deux diviseurs : le nombre lui-même, "m", et le nombre 1.
- Exemples de nombres premiers :
- 1 n'est pas considéré comme un nombre premier, donc le plus petit nombre premier est 2 (la liste des nombres premiers commence par le nombre 2).
- 2 n'est divisible que par 2 et 1, donc 2 est un nombre premier.
- 3 n'est divisible que par 3 et 1, donc 3 est un nombre premier.
- 5 n'est divisible que par 5 et 1, donc 5 est un nombre premier.
- 13 n'est divisible que par 13 et 1, donc 13 est un nombre premier.
2. Le théorème fondamental de l'arithmétique
- Le théorème fondamental de l'arithmétique dit que tout entier supérieur à 1 peut être écrit comme un produit d'un ou plusieurs nombres premiers, d'une manière qui est unique, à l'exception de l'ordre des facteurs premiers.
- Pourquoi 1 n'est-il pas considéré comme un nombre premier ? Si le nombre 1 était considéré comme un nombre premier, alors la factorisation première du nombre 15 pourrait s'écrire : 15 = 3 × 5 OU 15 = 1 × 3 × 5 - ces deux représentations seraient considérées comme des factorisations premières différentes du même nombre, donc le théorème ci-dessus n'aurait plus été valide.
3. Nombres composés
- Un nombre composé est un nombre naturel qui a au moins un autre diviseur que 1 et le nombre lui-même.
- Un nombre composé est également tout nombre naturel supérieur à 1 qui n'est pas un nombre premier.
- Note : La décomposition d'un nombre composé en facteurs premiers (la factorisation première d'un nombre) consiste à écrire un nombre naturel supérieur à 1 sous la forme d'un produit de nombres premiers.
- Exemples de nombres composés :
- 4 est divisible par 4, 2 et 1, donc 4 n'est pas un nombre premier, c'est un nombre composé. La factorisation première de 4 = 2 × 2 = 22
- Première remarque : La deuxième partie de la factorisation première de 4 est écrite en utilisant des puissances et des exposants et s'appelle une écriture condensée de la factorisation première.
- Deuxième remarque : 23 = 2 × 2 × 2 = 8. On dit 2 à la puissance 3 - ou - 2 exposant 3. Dans cet exemple, 3 est l'exposant et 2 la base. L'exposant indique combien de fois la base est multipliée par elle-même. 23 est la puissance et 8 est la valeur de la puissance.
- 6 est divisible par 6, 3, 2 et 1, donc 6 n'est pas un nombre premier, c'est un nombre composé. La décomposition en facteurs premiers de 6 = 2 × 3
- 8 est divisible par 8, 4, 2 et 1, donc 8 n'est pas un nombre premier, c'est un nombre composé. La décomposition en facteurs premiers est 8 = 23
- 9 est divisible par 9, 3, et 1, donc 9 n'est pas un nombre premier, c'est un nombre composé. La décomposition en facteurs premiers est : 9 = 32
4. Remarques sur les nombres premiers
- La liste des premiers nombres premiers, jusqu'à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
- Les nombres premiers sont les blocs de construction de base de tous les nombres, en tenant compte du fait que chaque nombre peut être écrit comme un produit d'un ou plusieurs nombres premiers. Tout nombre composé peut être écrit comme un produit d'au moins deux nombres premiers.
- EUCLIDE (300 av. J.-C.) a prouvé que, comme l'ensemble des nombres naturels ou entiers est infini, l'ensemble des nombres premiers est également infini, sans plus grand nombre premier.
- Il n'y a pas de formule simple connue qui distingue tous les nombres premiers des nombres composés.
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