• 1. Décomposer en facteurs premiers (la factorisation première) le numérateur et le dénominateur de la fraction. Factorisations premières ici : Décomposer des nombres en facteurs premiers
• 2. Calculez le plus grand commun diviseur, pgcd, du numérateur et du dénominateur des fractions. Calculez PGCD, ici : calculer le plus grand commun diviseur, pgcd, de nombres :
• 3. Divisez le numérateur et le dénominateur de la fraction par PGCD.
• La fraction ainsi obtenue est appelée fraction simplifiée au plus possible, à sa plus simple fraction équivalente, irréductible (celle qui a le plus petit numérateur et dénominateur possible). Le PGCD du numérateur et du dénominateur d'une fraction irréductible est égal à 1.

Exemple 1 : simplifier la fraction propre ²⁴/₃₂ le plus possible.

• Une fraction propre : une fraction dans laquelle le dénominateur est plus grand que le numérateur. Exemple : ¹/₃, ²/₆, ²⁴/₃₂.
• Une fraction impropre : une fraction dont le dénominateur est égal ou inférieur au numérateur. Exemple: ³/₂, ²/₂, ³⁶/₃₄

• 1) Décomposer en facteurs premiers (la factorisation première) le numérateur et le dénominateur de la fraction.

• Le numérateur de la fraction est 24, la décomposition en facteurs premiers est : 24 = 2³ × 3
  Le dénominateur de la fraction est 32, la décomposition en facteurs premiers est : 32 = 2⁵

• 2) Calculez le plus grand commun diviseur, pgcd, du numérateur et du dénominateur des fractions.

• Le plus grand commun diviseur, pgcd (24 ; 32), est calculé en multipliant tous les facteurs premiers communs du numérateur et du dénominateur, pris par leurs puissances les plus faibles (leurs exposants les plus faibles) :
• PGCD (24; 32) = (2³ × 3; 2⁵) = 2³ = 8.

• 3) Divisez le numérateur et le dénominateur de la fraction par PGCD.

• Le numérateur et le dénominateur de la fraction sont divisés par le plus grand commun diviseur, PGCD :
• ²⁴/₃₂ =

  ---

  ^{(24 : 8)}/_{(32 : 8)} =

  ---

  ^{(23 × 3 : 23)}/_{(2⁵ : 2³)} =

  ---

  ³/₄
• La fraction ainsi obtenue est appelée fraction simplifiée le plus possible ; dans ce cas c'est aussi une fraction irréductible (elle ne peut plus être simplifiée, elle a le plus petit numérateur et dénominateur possible).

Exemple 2 : simplifier la fraction propre ¹³⁰/₄₅₅ le plus possible.

• 1) Décomposer en facteurs premiers (la factorisation première) le numérateur et le dénominateur de la fraction.

• Le numérateur de la fraction est 130, la décomposition en facteurs premiers est : 130 = 2 × 5 × 13.
  Le dénominateur de la fraction est 455, la décomposition en facteurs premiers est : 455 = 5 × 7 × 13.

• 2) Calculez le plus grand commun diviseur, pgcd, du numérateur et du dénominateur des fractions.

• Le plus grand commun diviseur, pgcd (130 ; 455), est calculé en multipliant tous les facteurs premiers communs du numérateur et du dénominateur, pris par leurs puissances les plus faibles (leurs exposants les plus faibles) :
• PGCD (130; 455) = (2 × 5 × 13; 5 × 7 × 13) = 5 × 13 = 65.

• 3) Divisez le numérateur et le dénominateur de la fraction par PGCD.

• Le numérateur et le dénominateur de la fraction sont divisés par le plus grand commun diviseur, PGCD :
• ¹³⁰/₄₅₅ =

  ---

  ^{(2 × 5 × 13)}/_{(5 × 7 × 13)} =

  ---

  ^{((2 × 5 × 13) : (5 × 13))} / _{((5 × 7 × 13) : (5 × 13))} =

  ---

  ²/₇
• La fraction ainsi obtenue est appelée fraction simplifiée le plus possible.

Exemple 3: simplifier la fraction ³¹⁵/_1.155 le plus possible.

• 1) Décomposer en facteurs premiers (la factorisation première) le numérateur et le dénominateur de la fraction.

• Le numérateur de la fraction est 315, la décomposition en facteurs premiers est :
  315 = 3 × 3 × 5 × 7 = 3² × 5 × 7
• Le dénominateur de la fraction est 1.155, la décomposition en facteurs premiers est :
  1.155 = 3 × 5 × 7 × 11.

• 2) Calculez le plus grand commun diviseur, pgcd, du numérateur et du dénominateur des fractions.

• Le plus grand commun diviseur, pgcd (315 ; 1.155), est calculé en multipliant tous les facteurs premiers communs du numérateur et du dénominateur, pris par leurs puissances les plus faibles (leurs exposants les plus faibles) :
• PGCD (315; 1.155) = (3² × 5 × 7; 3 × 5 × 7 × 11) = 3 × 5 × 7 = 105

• 3) Divisez le numérateur et le dénominateur de la fraction par PGCD.

• Le numérateur et le dénominateur de la fraction sont divisés par le plus grand commun diviseur, PGCD :
• ³¹⁵/_1.155 =

  ---

  ^{(32 × 5 × 7)}/_{(3 × 5 × 7 × 11)} =

  ---

  ^{((32 × 5 × 7) : (3 × 5 × 7))} / _{((3 × 5 × 7 × 11) : (3 × 5 × 7))} =

  ---

  ³/₁₁
• La fraction ainsi obtenue est appelée fraction simplifiée le plus possible.

Exemple 4 : simplifier la fraction impropre ⁴⁵⁵/₁₃₀ le plus possible.

• 1) Décomposer en facteurs premiers (la factorisation première) le numérateur et le dénominateur de la fraction.

• Le numérateur de la fraction est 455, la décomposition en facteurs premiers est : 455 = 5 × 7 × 13
  Le dénominateur de la fraction est 130, la décomposition en facteurs premiers est : 130 = 2 × 5 × 13

• 2) Calculez le plus grand commun diviseur, pgcd, du numérateur et du dénominateur des fractions.

• Le plus grand commun diviseur, pgcd (455 ; 130), est calculé en multipliant tous les facteurs premiers communs du numérateur et du dénominateur, pris par leurs puissances les plus faibles (leurs exposants les plus faibles) :
• PGCD (455; 130) = (5 × 7 × 13; 2 × 5 × 13) = 5 × 13 = 65

• 3) Divisez le numérateur et le dénominateur de la fraction par PGCD.

• Le numérateur et le dénominateur de la fraction sont divisés par le plus grand commun diviseur, PGCD :
• ⁴⁵⁵/₁₃₀ =

  ---

  ^{(5 × 7 × 13)}/_{(2 × 5 × 13)} =

  ---

  ^{((5 × 7 × 13) : (5 × 13))} / _{((2 × 5 × 13) : (5 × 13))} =

  ---

  ⁷/₂
• La fraction ainsi obtenue est appelée fraction simplifiée le plus possible.
• Mais il y a plus : toute fraction impropre peut être écrite comme la somme d'un nombre entier et d'une fraction propre.
• Dans notre cas :
• ⁷/₂ =

  ---

  ^{(2 × 3 + 1)}/₂ =

  ---

  ^{(2 × 3)}/₂ + ¹/₂ =

  ---

  ³/₁ + ¹/₂ =

  ---

  3 + ¹/₂ =

  ---

  3 ¹/₂
• 3 ¹/₂ est appelé un nombre fractionnaire.

Pourquoi simplifier les fractions ?

Les opérations avec des fractions impliquent souvent qu'elles aient le même dénominateur ou le même numérateur. Parfois, les numérateurs et les dénominateurs sont de grands nombres. Faire des calculs avec des nombres aussi grands pourrait être difficile. En simplifiant les fractions, le numérateur et le dénominateur sont réduits à des valeurs plus petites, beaucoup plus faciles à utiliser.

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