Les deux nombres 1.694 et 4.613 sont-ils premiers entre eux (copremiers) ? Vérifiez si leur plus grand diviseur commun, pgcd, est égal à 1

Les nombres 1.694 et 4.613 sont-ils premiers entre eux ?

1.694 et 4.613 ne sont pas premiers entre eux...si :

S'il y a au moins un nombre autre que 1 qui divise les deux nombres sans reste. Ou...

Ou, en d'autres termes - si leur plus grand commun diviseur, pgcd, n'est pas 1.


Calculer le plus grand commun diviseur, pgcd, des nombres

Méthode 1. La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première):

La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) d'un nombre : trouver les nombres premiers qui se multiplient ensemble pour faire ce nombre.


1.694 = 2 × 7 × 112
1.694 n'est pas un nombre premier mais un composé.


4.613 = 7 × 659
4.613 n'est pas un nombre premier mais un composé.


Les nombres qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes sont appelés nombres premiers. Un nombre premier n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même.


Un nombre composé est un nombre naturel qui a au moins un facteur autre que 1 et lui-même.

>> La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) des nombres



Calculer le plus grand commun diviseur, pgcd:

Multipliez tous les facteurs premiers communs des deux nombres, pris par leurs plus petits exposants (puissances).

pgcd (1.694; 4.613) = 7 ≠ 1



Nombres premiers entre eux (1.694; 4.613)? Non.
Les deux nombres ont des facteurs premiers communs.
pgcd (1.694; 4.613) = 7 ≠ 1
Faites défiler vers le bas pour la 2ème méthode...

Méthode 2. L'algorithme d'Euclide:

Cet algorithme implique le processus de division des nombres et de calcul des restes.


'a' et 'b' sont les deux nombres naturels, 'a' >= 'b'.


Divisez 'a' par 'b' et obtenez le reste de l'opération, 'r'.


Si 'r' = 0, STOP. 'b' = le PGCD de 'a' et 'b'.


Sinon : Remplacez ('a' par 'b') et ('b' par 'r'). Revenez à l'étape ci-dessus..

>> L'algorithme d'Euclide



Étape 1. Divisez le plus grand nombre par le plus petit:
4.613 : 1.694 = 2 + 1.225
Étape 2. Divisez le plus petit nombre par le reste de l'opération ci-dessus:
1.694 : 1.225 = 1 + 469
Étape 3. Diviser le reste de l'étape 1 par le reste de l'étape 2:
1.225 : 469 = 2 + 287
Étape 4. Diviser le reste de l'étape 2 par le reste de l'étape 3:
469 : 287 = 1 + 182
Étape 5. Diviser le reste de l'étape 3 par le reste de l'étape 4:
287 : 182 = 1 + 105
Étape 6. Diviser le reste de l'étape 4 par le reste de l'étape 5:
182 : 105 = 1 + 77
Étape 7. Diviser le reste de l'étape 5 par le reste de l'étape 6:
105 : 77 = 1 + 28
Étape 8. Diviser le reste de l'étape 6 par le reste de l'étape 7:
77 : 28 = 2 + 21
Étape 9. Diviser le reste de l'étape 7 par le reste de l'étape 8:
28 : 21 = 1 + 7
Étape 10. Diviser le reste de l'étape 8 par le reste de l'étape 9:
21 : 7 = 3 + 0
A cette étape, le reste est nul, donc on s'arrête:
7 est le nombre que nous recherchions - le dernier reste non nul.
C'est le plus grand commun diviseur.


pgcd (1.694; 4.613) = 7 ≠ 1


Nombres premiers entre eux (1.694; 4.613)? Non.
pgcd (1.694; 4.613) = 7 ≠ 1

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Les deux nombres sont-ils premiers entre eux ?

Deux nombres naturels sont premiers entre eux - s'il n'y a pas de nombre qui divise les deux nombres sans reste, c'est-à-dire si leur plus grand commun diviseur, pgcd, est 1.

Deux nombres naturels ne sont pas premiers entre eux - s'il y a au moins un nombre qui divise les deux nombres sans reste, c'est-à-dire si leur plus grand commun diviseur, pgcd, n'est pas 1.

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