2.242 et 1.849 sont premiers entre eux s'ils n'ont aucun facteur premier en commun, c'est-à-dire, si leur plus grand commun diviseur, pgcd, est égal à 1.
Calculer le plus grand commun diviseur
Méthode 1. La décomposition des nombres en facteurs premiers:
Décomposition d'un nombre en facteurs premiers: il s'agit de trouver les nombres premiers qui se multiplient pour former ce nombre.
2.242 = 2 × 19 × 59;
2.242 n'est pas un nombre premier, est un nombre composé;
1.849 = 432;
1.849 n'est pas un nombre premier, est un nombre composé;
Les nombres qui ne se divisent que par eux-mêmes et par 1, s'appellent des nombres premiers. Un nombre premier n'a que deux diviseurs: 1 et lui-même.
Un nombre composé est un entier naturel différent de 0 qui possède un diviseur positif autre que 1 ou lui-même.
Calcule le plus grand commun diviseur:
Prenez tous les facteurs premiers communs, par les puissances les plus bas.
MAIS... Les deux nombres n'ont pas de facteurs premiers communs.
pgcd (2.242; 1.849) = 1;
nombres premiers entre eux (copremiers)
Nombres premiers entre eux (copremiers) (2.242; 1.849)? Oui.
Les nombres n'ont pas de facteurs premiers communs.
pgcd (1.849; 2.242) = 1.
Méthode 2. Algorithme d' Euclide:
Cet algorithme implique l'opération de division et de calcul des restes.
'a' et 'b' sont les deux entiers positifs, 'a' >= 'b'.
Divisez 'a' par 'b' et obtenez le reste, 'r'.
Si 'r' = 0, STOP. 'b' = le PGCD de 'a' et 'b'.
Sinon: Remplacez ('a' par 'b') et ('b' par 'r'). Revenir à l'étape de la division, ci-dessus.
L'opération 1. On divise le nombre le plus grand au nombre le plus petit:
2.242 : 1.849 = 1 + 393;
L'opération 2. On divise le nombre le plus petit au reste de l'opération ci-dessus:
1.849 : 393 = 4 + 277;
L'opération 3. On divise le reste de l'opération 1 par le reste de l'opération 2:
393 : 277 = 1 + 116;
L'opération 4. On divise le reste de l'opération 2 par le reste de l'opération 3:
277 : 116 = 2 + 45;
L'opération 5. On divise le reste de l'opération 3 par le reste de l'opération 4:
116 : 45 = 2 + 26;
L'opération 6. On divise le reste de l'opération 4 par le reste de l'opération 5:
45 : 26 = 1 + 19;
L'opération 7. On divise le reste de l'opération 5 par le reste de l'opération 6:
26 : 19 = 1 + 7;
L'opération 8. On divise le reste de l'opération 6 par le reste de l'opération 7:
19 : 7 = 2 + 5;
L'opération 9. On divise le reste de l'opération 7 par le reste de l'opération 8:
7 : 5 = 1 + 2;
L'opération 10. On divise le reste de l'opération 8 par le reste de l'opération 9:
5 : 2 = 2 + 1;
L'opération 11. On divise le reste de l'opération 9 par le reste de l'opération 10:
2 : 1 = 2 + 0;
En ce moment, comme il n'y a plus de reste, on s'arrête:
1 est le nombre recherché, le dernier reste différent de zéro.
Ceci est le plus grand commun diviseur.
pgcd (2.242; 1.849) = 1;
Nombres premiers entre eux (copremiers) (2.242; 1.849)? Oui.
pgcd (1.849; 2.242) = 1.