5.534 et 1.665 sont premiers entre eux s'ils n'ont aucun facteur premier en commun, c'est-à-dire, si leur plus grand commun diviseur, pgcd, est égal à 1.
Calculer le plus grand commun diviseur
Méthode 1. La décomposition des nombres en facteurs premiers:
Décomposition d'un nombre en facteurs premiers: il s'agit de trouver les nombres premiers qui se multiplient pour former ce nombre.
5.534 = 2 × 2.767;
5.534 n'est pas un nombre premier, est un nombre composé;
1.665 = 32 × 5 × 37;
1.665 n'est pas un nombre premier, est un nombre composé;
Les nombres qui ne se divisent que par eux-mêmes et par 1, s'appellent des nombres premiers. Un nombre premier n'a que deux diviseurs: 1 et lui-même.
Un nombre composé est un entier naturel différent de 0 qui possède un diviseur positif autre que 1 ou lui-même.
Calcule le plus grand commun diviseur:
Prenez tous les facteurs premiers communs, par les puissances les plus bas.
MAIS... Les deux nombres n'ont pas de facteurs premiers communs.
pgcd (5.534; 1.665) = 1;
nombres premiers entre eux (copremiers)
Nombres premiers entre eux (copremiers) (5.534; 1.665)? Oui.
Les nombres n'ont pas de facteurs premiers communs.
pgcd (1.665; 5.534) = 1.
Méthode 2. Algorithme d' Euclide:
Cet algorithme implique l'opération de division et de calcul des restes.
'a' et 'b' sont les deux entiers positifs, 'a' >= 'b'.
Divisez 'a' par 'b' et obtenez le reste, 'r'.
Si 'r' = 0, STOP. 'b' = le PGCD de 'a' et 'b'.
Sinon: Remplacez ('a' par 'b') et ('b' par 'r'). Revenir à l'étape de la division, ci-dessus.
L'opération 1. On divise le nombre le plus grand au nombre le plus petit:
5.534 : 1.665 = 3 + 539;
L'opération 2. On divise le nombre le plus petit au reste de l'opération ci-dessus:
1.665 : 539 = 3 + 48;
L'opération 3. On divise le reste de l'opération 1 par le reste de l'opération 2:
539 : 48 = 11 + 11;
L'opération 4. On divise le reste de l'opération 2 par le reste de l'opération 3:
48 : 11 = 4 + 4;
L'opération 5. On divise le reste de l'opération 3 par le reste de l'opération 4:
11 : 4 = 2 + 3;
L'opération 6. On divise le reste de l'opération 4 par le reste de l'opération 5:
4 : 3 = 1 + 1;
L'opération 7. On divise le reste de l'opération 5 par le reste de l'opération 6:
3 : 1 = 3 + 0;
En ce moment, comme il n'y a plus de reste, on s'arrête:
1 est le nombre recherché, le dernier reste différent de zéro.
Ceci est le plus grand commun diviseur.
pgcd (5.534; 1.665) = 1;
Nombres premiers entre eux (copremiers) (5.534; 1.665)? Oui.
pgcd (1.665; 5.534) = 1.