Les deux nombres 5.746 et 3.240 sont-ils premiers entre eux (copremiers) ? Vérifiez si leur plus grand diviseur commun, pgcd, est égal à 1
Les nombres 5.746 et 3.240 sont-ils premiers entre eux ?
5.746 et 3.240 ne sont pas premiers entre eux...si :
S'il y a au moins un nombre autre que 1 qui divise les deux nombres sans reste.
Ou, en d'autres termes - si leur plus grand commun diviseur, pgcd, n'est pas 1.
Calculer le plus grand commun diviseur, pgcd, des nombres
Méthode 1. La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première):
La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) d'un nombre : trouver les nombres premiers qui se multiplient ensemble pour faire ce nombre.
5.746 = 2 × 132 × 17
5.746 n'est pas un nombre premier mais un composé.
3.240 = 23 × 34 × 5
3.240 n'est pas un nombre premier mais un composé.
Les nombres qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes sont appelés nombres premiers. Un nombre premier n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même.
Un nombre composé est un nombre naturel qui a au moins un facteur autre que 1 et lui-même.
Calculer le plus grand commun diviseur, pgcd:
Multipliez tous les facteurs premiers communs des deux nombres, pris par leurs plus petits exposants (puissances).
pgcd (5.746; 3.240) = 2 ≠ 1
Nombres premiers entre eux (5.746; 3.240)? Non.
Les deux nombres ont des facteurs premiers communs.
pgcd (3.240; 5.746) = 2 ≠ 1
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Méthode 2. L'algorithme d'Euclide:
Cet algorithme implique le processus de division des nombres et de calcul des restes.
'a' et 'b' sont les deux nombres naturels, 'a' >= 'b'.
Divisez 'a' par 'b' et obtenez le reste de l'opération, 'r'.
Si 'r' = 0, STOP. 'b' = le PGCD de 'a' et 'b'.
Sinon : Remplacez ('a' par 'b') et ('b' par 'r'). Revenez à l'étape ci-dessus..
Étape 1. Divisez le plus grand nombre par le plus petit:
5.746 : 3.240 = 1 + 2.506
Étape 2. Divisez le plus petit nombre par le reste de l'opération ci-dessus:
3.240 : 2.506 = 1 + 734
Étape 3. Diviser le reste de l'étape 1 par le reste de l'étape 2:
2.506 : 734 = 3 + 304
Étape 4. Diviser le reste de l'étape 2 par le reste de l'étape 3:
734 : 304 = 2 + 126
Étape 5. Diviser le reste de l'étape 3 par le reste de l'étape 4:
304 : 126 = 2 + 52
Étape 6. Diviser le reste de l'étape 4 par le reste de l'étape 5:
126 : 52 = 2 + 22
Étape 7. Diviser le reste de l'étape 5 par le reste de l'étape 6:
52 : 22 = 2 + 8
Étape 8. Diviser le reste de l'étape 6 par le reste de l'étape 7:
22 : 8 = 2 + 6
Étape 9. Diviser le reste de l'étape 7 par le reste de l'étape 8:
8 : 6 = 1 + 2
Étape 10. Diviser le reste de l'étape 8 par le reste de l'étape 9:
6 : 2 = 3 + 0
A cette étape, le reste est nul, donc on s'arrête:
2 est le nombre que nous recherchions - le dernier reste non nul.
C'est le plus grand commun diviseur.
pgcd (5.746; 3.240) = 2 ≠ 1
Nombres premiers entre eux (5.746; 3.240)? Non.
pgcd (3.240; 5.746) = 2 ≠ 1
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Les 5 dernières paires de nombres qui ont été vérifiées: sont-ils premiers entre eux ou non ?
Les deux nombres sont-ils premiers entre eux ?
Deux nombres naturels sont premiers entre eux - s'il n'y a pas de nombre qui divise les deux nombres sans reste, c'est-à-dire si leur plus grand commun diviseur, pgcd, est 1.
Deux nombres naturels ne sont pas premiers entre eux - s'il y a au moins un nombre qui divise les deux nombres sans reste, c'est-à-dire si leur plus grand commun diviseur, pgcd, n'est pas 1.
Nombres premiers entre eux
- Les nombres "a" et "b" sont dits premiers entre eux si le seul entier positif qui les divise tous les deux est 1.
- Les nombres premiers sont des paires de (au moins deux) nombres qui n'ont pas d'autre diviseur commun que 1.
- Lorsque le seul diviseur commun est 1, cela équivaut également à ce que leur plus grand commun diviseur soit 1.
- Exemples de paires de nombres premiers entre eux :
- Les nombres premiers entre eux ne sont pas nécessairement des nombres premiers, par exemple 4 et 9 - ces deux nombres ne sont pas premiers, ce sont des nombres composés, puisque 4 = 2 × 2 = 22 et 9 = 3 × 3 = 32. Mais le pgcd (4; 9) = 1, donc ils sont premiers entre eux,.
- Parfois, les nombres premiers entre eux dans une paire sont eux-mêmes des nombres premiers, par exemple (3 et 5), ou (7 et 11), (13 et 23).
- D'autres fois, les nombres qui sont premiers entre eux peuvent ou non être premiers, par exemple (5 et 6), (7 et 12), (15 et 23).
- Exemples de paires de nombres qui ne sont pas premiers entre eux :
- 16 et 24 ne sont pas premiers entre eux, puisqu'ils sont tous deux divisibles par 1, 2, 4 et 8 (1, 2, 4 et 8 sont leurs diviseurs communs).
- 6 et 10 ne sont pas premiers entre eux, puisqu'ils sont tous deux divisibles par 2.
- Quelques propriétés des nombres premiers entre eux :
- Le plus grand commun diviseur de deux nombres premiers entre eux est toujours 1.
- Le plus petit commun multiple, ppcm, de deux nombres premiers est toujours leur produit : ppcm (a, b) = a × b.
- Le nombre 1 est le seul nombre naturel qui est premier avec chaque nombre, par exemple (1 et 2), (1 et 3), (1 et 4), (1 et 5), (1 et 6), etc. , sont tous des paires de nombres premiers entre eux puisque leur plus grand diviseur commun est 1.
- Le nombre 1 est le seul nombre naturel premier avec 0.
- Deux nombres premiers sont toujours premiers entre eux, par exemple (2 et 3), (3 et 5), (5 et 7) etc.
- Deux nombres consécutifs sont premiers entre eux, par exemple (1 et 2), (2 et 3), (3 et 4), (4 et 5), (5 et 6), (6 et 7), (7 et 8), (8 et 9), (9 et 10), etc.
- La somme de deux nombres premiers entre eux, a + b, est toujours première avec leur produit, a × b. Par exemple, 7 et 10 sont des nombres premiers entre eux, 7 + 10 = 17 est premier avec 7 × 10 = 70. Un autre exemple, 9 et 11 sont premiers entre eux, et leur somme, 9 + 11 = 20 est premier avec leur produit, 9 × 11 = 99.
- Un moyen rapide de déterminer si deux nombres sont premiers entre eux est donné par l'algorithme d'Euclide : L'algorithme d'Euclide
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