Les deux nombres 9.810 et 999.999.999.934 sont-ils premiers entre eux (copremiers) ? Vérifiez si leur plus grand diviseur commun, pgcd, est égal à 1
Les nombres 9.810 et 999.999.999.934 sont-ils premiers entre eux ?
9.810 et 999.999.999.934 ne sont pas premiers entre eux...si :
S'il y a au moins un nombre autre que 1 qui divise les deux nombres sans reste. Ou...
Ou, en d'autres termes - si leur plus grand commun diviseur, pgcd, n'est pas 1.
Calculer le plus grand commun diviseur, pgcd, des nombres
Méthode 1. La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première):
La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) d'un nombre : trouver les nombres premiers qui se multiplient ensemble pour faire ce nombre.
9.810 = 2 × 32 × 5 × 109
9.810 n'est pas un nombre premier mais un composé.
999.999.999.934 = 2 × 13 × 31 × 109 × 11.382.521
999.999.999.934 n'est pas un nombre premier mais un composé.
Les nombres qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes sont appelés nombres premiers. Un nombre premier n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même.
Un nombre composé est un nombre naturel qui a au moins un facteur autre que 1 et lui-même.
Calculer le plus grand commun diviseur, pgcd:
Multipliez tous les facteurs premiers communs des deux nombres, pris par leurs plus petits exposants (puissances).
pgcd (9.810; 999.999.999.934) = 2 × 109 = 218 ≠ 1
Nombres premiers entre eux (9.810; 999.999.999.934)? Non.
Les deux nombres ont des facteurs premiers communs.
pgcd (9.810; 999.999.999.934) = 218 ≠ 1
Faites défiler vers le bas pour la 2ème méthode...
Méthode 2. L'algorithme d'Euclide:
Cet algorithme implique le processus de division des nombres et de calcul des restes.
'a' et 'b' sont les deux nombres naturels, 'a' >= 'b'.
Divisez 'a' par 'b' et obtenez le reste de l'opération, 'r'.
Si 'r' = 0, STOP. 'b' = le PGCD de 'a' et 'b'.
Sinon : Remplacez ('a' par 'b') et ('b' par 'r'). Revenez à l'étape ci-dessus..
Étape 1. Divisez le plus grand nombre par le plus petit:
999.999.999.934 : 9.810 = 101.936.799 + 1.744
Étape 2. Divisez le plus petit nombre par le reste de l'opération ci-dessus:
9.810 : 1.744 = 5 + 1.090
Étape 3. Diviser le reste de l'étape 1 par le reste de l'étape 2:
1.744 : 1.090 = 1 + 654
Étape 4. Diviser le reste de l'étape 2 par le reste de l'étape 3:
1.090 : 654 = 1 + 436
Étape 5. Diviser le reste de l'étape 3 par le reste de l'étape 4:
654 : 436 = 1 + 218
Étape 6. Diviser le reste de l'étape 4 par le reste de l'étape 5:
436 : 218 = 2 + 0
A cette étape, le reste est nul, donc on s'arrête:
218 est le nombre que nous recherchions - le dernier reste non nul.
C'est le plus grand commun diviseur.
pgcd (9.810; 999.999.999.934) = 218 ≠ 1
Nombres premiers entre eux (9.810; 999.999.999.934)? Non.
pgcd (9.810; 999.999.999.934) = 218 ≠ 1
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Les deux nombres sont-ils premiers entre eux ?
Deux nombres naturels sont premiers entre eux - s'il n'y a pas de nombre qui divise les deux nombres sans reste, c'est-à-dire si leur plus grand commun diviseur, pgcd, est 1.
Deux nombres naturels ne sont pas premiers entre eux - s'il y a au moins un nombre qui divise les deux nombres sans reste, c'est-à-dire si leur plus grand commun diviseur, pgcd, n'est pas 1.