Qu'est-ce qu'un nombre premier? Définition, exemples

1. Nombres premiers

Les nombres naturels, supérieurs à 1, qui ne se divisent sans reste que par 1 et eux-mêmes, sont appelés nombres premiers.

Tout nombre premier, "m", n'a que deux diviseurs, le nombre lui-même, "m", et le nombre 1 :
m = 1 × m
Exemples de nombres premiers :
1 n'est pas considéré comme un nombre premier.
Le plus petit nombre premier est 2 et donc la liste des nombres premiers commence par le nombre 2 :
2 n'est divisible que par 2 et 1, donc 2 est un nombre premier.
3 n'est divisible que par 3 et 1, donc 3 est un nombre premier.
5 n'est divisible que par 5 et 1, donc 5 est un nombre premier.
7 n'est divisible que par 7 et 1, donc 7 est un nombre premier.
11 n'est divisible que par 11 et 1, donc 11 est un nombre premier.
...
2 est le seul nombre pair qui soit un nombre premier. Tous les autres nombres premiers sont des nombres impairs.

2. Le théorème fondamental de l'arithmétique

La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) d'un nombre : trouver les nombres premiers qui se multiplient ensemble pour former ce nombre.
Le théorème fondamental de l'arithmétique dit que tout nombre naturel supérieur à 1 peut être écrit comme un produit d'un ou plusieurs nombres premiers d'une manière qui est unique, à l'exception de l'ordre des facteurs premiers.
Alors, pourquoi le nombre 1 n'est-il pas considéré comme un nombre premier ? Si 1 était considéré comme un nombre premier, alors la décomposition en facteurs premiers du nombre 6, par exemple, pourrait être soit : 6 = 2 × 3 ou 6 = 1 × 2 × 3. Ces deux représentations seraient considérées comme deux factorisations premières différentes du même nombre, 6, de sorte que l'énoncé du théorème fondamental ne serait plus vrai.

3. Nombres composés

Un nombre composé est un nombre naturel qui a au moins un diviseur positif autre que 1 et le nombre lui-même.
Un nombre composé est également tout nombre supérieur à 1 qui n'est pas un nombre premier.
Exemples de nombres composés :
4 est divisible par 4, 2 et 1, donc 4 n'est pas un nombre premier, c'est un nombre composé. La factorisation première de 4 = 2 × 2 = 2²
Première remarque : La deuxième partie de la factorisation première de 4 s'écrit à l'aide de puissances et d'exposants et s'appelle une écriture condensée de la première partie de la décomposition en facteurs premiers de 4.
La deuxième remarque : 2³ = 2 × 2 × 2 = 8. On dit 2 à la puissance 3 - ou - 2 exposant 3. Dans cet exemple, 3 est l'exposant et 2 la base. L'exposant indique combien de fois la base est multipliée par elle-même. 2³ est la puissance et 8 est la valeur de la puissance.
6 est divisible par 6, 3, 2 et 1, donc 6 n'est pas un nombre premier, c'est un nombre composé. La décomposition en facteurs premiers de 6 = 2 × 3
8 est divisible par 8, 4, 2 et 1, donc 8 n'est pas un nombre premier, c'est un nombre composé. La décomposition en facteurs premiers est 8 = 2³
9 est divisible par 9, 3, et 1, donc 9 n'est pas un nombre premier, c'est un nombre composé. La décomposition en facteurs premiers est : 9 = 3²
10 est divisible par 10, 5, 2 et 1, donc 10 n'est pas un nombre premier, c'est un nombre composé. La factorisation première de 10 = 2 × 5
12 est divisible par 12, 4, 3, 2 et 1, donc 12 n'est pas un nombre premier, c'est un nombre composé. La factorisation première est 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3

Une autre remarque :
Les nombres composés sont tous les nombres naturels supérieurs à 1 qui ne sont pas des nombres premiers.
Tout nombre composé peut être écrit comme un produit d'au moins deux nombres premiers.
On pourrait dire que les nombres premiers sont les éléments de base de tous les nombres composés.

4. Les nombres premiers, jusqu'à 200 :

Comme mentionné ci-dessus, le premier nombre premier n'est pas 1, mais 2. Le nombre 1 n'est pas considéré comme un nombre premier.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,
61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,
101, 103, 107, 109, 113, 127,
131, 137, 139, 149, 151, 157,
163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Une dernière remarque sur les nombres premiers :
EUCLIDE (300 av. J.-C.) a prouvé que, comme l'ensemble des nombres naturels est infini, l'ensemble des nombres premiers est également infini, sans plus grand nombre premier.
Il n'y a pas de formule simple connue qui distingue tous les nombres premiers des nombres composés.