Qu'est-ce qu'un nombre premier? Définition, exemples. Le théorème fondamental de l'arithmétique. La liste des nombres premiers jusqu'à 200

1. Nombres premiers

  • Les nombres naturels, supérieurs à 1, qui ne se divisent sans reste que par 1 et eux-mêmes, sont appelés nombres premiers.
  • Tout nombre premier, "m", n'a que deux diviseurs, le nombre lui-même, "m", et le nombre 1 :
  • m = 1 × m
  • Exemples de nombres premiers :
  • 1 n'est pas considéré comme un nombre premier.
  • Le plus petit nombre premier est 2 et donc la liste des nombres premiers commence par le nombre 2 :
  • 2 n'est divisible que par 2 et 1, donc 2 est un nombre premier.
  • 3 n'est divisible que par 3 et 1, donc 3 est un nombre premier.
  • 5 n'est divisible que par 5 et 1, donc 5 est un nombre premier.
  • 7 n'est divisible que par 7 et 1, donc 7 est un nombre premier.
  • 11 n'est divisible que par 11 et 1, donc 11 est un nombre premier.
  • ...
  • 2 est le seul nombre pair qui soit un nombre premier. Tous les autres nombres premiers sont des nombres impairs.

2. Le théorème fondamental de l'arithmétique

  • La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) d'un nombre : trouver les nombres premiers qui se multiplient ensemble pour former ce nombre.
  • Le théorème fondamental de l'arithmétique dit que tout nombre naturel supérieur à 1 peut être écrit comme un produit d'un ou plusieurs nombres premiers d'une manière qui est unique, à l'exception de l'ordre des facteurs premiers.
  • Alors, pourquoi le nombre 1 n'est-il pas considéré comme un nombre premier ? Si 1 était considéré comme un nombre premier, alors la décomposition en facteurs premiers du nombre 6, par exemple, pourrait être soit : 6 = 2 × 3 ou 6 = 1 × 2 × 3. Ces deux représentations seraient considérées comme deux factorisations premières différentes du même nombre, 6, de sorte que l'énoncé du théorème fondamental ne serait plus vrai.

3. Nombres composés

  • Un nombre composé est un nombre naturel qui a au moins un diviseur positif autre que 1 et le nombre lui-même.
  • Un nombre composé est également tout nombre supérieur à 1 qui n'est pas un nombre premier.
  • Exemples de nombres composés :
  • 4 est divisible par 4, 2 et 1, donc 4 n'est pas un nombre premier, c'est un nombre composé. La factorisation première de 4 = 2 × 2 = 22
  • Première remarque : La deuxième partie de la factorisation première de 4 s'écrit à l'aide de puissances et d'exposants et s'appelle une écriture condensée de la première partie de la décomposition en facteurs premiers de 4.
  • La deuxième remarque : 23 = 2 × 2 × 2 = 8. On dit 2 à la puissance 3 - ou - 2 exposant 3. Dans cet exemple, 3 est l'exposant et 2 la base. L'exposant indique combien de fois la base est multipliée par elle-même. 23 est la puissance et 8 est la valeur de la puissance.
  • 6 est divisible par 6, 3, 2 et 1, donc 6 n'est pas un nombre premier, c'est un nombre composé. La décomposition en facteurs premiers de 6 = 2 × 3
  • 8 est divisible par 8, 4, 2 et 1, donc 8 n'est pas un nombre premier, c'est un nombre composé. La décomposition en facteurs premiers est 8 = 23
  • 9 est divisible par 9, 3, et 1, donc 9 n'est pas un nombre premier, c'est un nombre composé. La décomposition en facteurs premiers est : 9 = 32
  • 10 est divisible par 10, 5, 2 et 1, donc 10 n'est pas un nombre premier, c'est un nombre composé. La factorisation première de 10 = 2 × 5
  • 12 est divisible par 12, 4, 3, 2 et 1, donc 12 n'est pas un nombre premier, c'est un nombre composé. La factorisation première est 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3
  • Une autre remarque :
  • Les nombres composés sont tous les nombres naturels supérieurs à 1 qui ne sont pas des nombres premiers.
  • Tout nombre composé peut être écrit comme un produit d'au moins deux nombres premiers.
  • On pourrait dire que les nombres premiers sont les éléments de base de tous les nombres composés.

4. Les nombres premiers, jusqu'à 200 :

  • Comme mentionné ci-dessus, le premier nombre premier n'est pas 1, mais 2. Le nombre 1 n'est pas considéré comme un nombre premier.
  • 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
  • 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,
  • 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,
  • 101, 103, 107, 109, 113, 127,
  • 131, 137, 139, 149, 151, 157,
  • 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.
  • Une dernière remarque sur les nombres premiers :
  • EUCLIDE (300 av. J.-C.) a prouvé que, comme l'ensemble des nombres naturels est infini, l'ensemble des nombres premiers est également infini, sans plus grand nombre premier.
  • Il n'y a pas de formule simple connue qui distingue tous les nombres premiers des nombres composés.