Pour simplifier une fraction le plus possible, à sa fraction équivalente la plus simple (avec le plus petit numérateur et dénominateur) :

Calculez le plus grand commun diviseur, pgcd, du numérateur et du dénominateur de la fraction.

Divisez le numérateur et le dénominateur de la fraction par leur pgcd.

Le résultat peut être écrit sous la forme d'une fraction propre ou impropre, d'une fraction mixte (ou un nombre fractionnaire), d'un nombre décimal ou d'un nombre entier et d'un pourcentage.

Étapes pour simplifier une fraction le plus possible :

• 1) Décomposer en facteurs premiers (la factorisation première) le numérateur et le dénominateur de la fraction.
• 2) Calculez le plus grand commun diviseur, pgcd, du numérateur et du dénominateur des fractions.
• 3) Divisez le numérateur et le dénominateur de la fraction par PGCD.
• La fraction ainsi obtenue est appelée fraction simplifiée au plus possible, à sa plus simple fraction équivalente, irréductible (celle qui a le plus petit numérateur et dénominateur possible).

Exemple : simplifier la fraction ³¹⁵/_1.155 le plus possible.

• 1) Décomposer en facteurs premiers (la factorisation première) le numérateur et le dénominateur de la fraction.

• Le numérateur de la fraction est 315, la décomposition en facteurs premiers est :
  315 = 3 × 3 × 5 × 7 = 3² × 5 × 7
• Le dénominateur de la fraction est 1.155, la décomposition en facteurs premiers est :
  1.155 = 3 × 5 × 7 × 11.

• 2) Calculez le plus grand commun diviseur, pgcd, du numérateur et du dénominateur des fractions.

• Le plus grand commun diviseur, pgcd (315 ; 1.155), est calculé en multipliant tous les facteurs premiers communs du numérateur et du dénominateur, pris par leurs puissances les plus faibles (leurs exposants les plus faibles) :
• PGCD (315; 1.155) = (3² × 5 × 7; 3 × 5 × 7 × 11) = 3 × 5 × 7 = 105
• L'article continue ci-dessous...

• 3) Divisez le numérateur et le dénominateur de la fraction par PGCD.

• Le numérateur et le dénominateur de la fraction sont divisés par le plus grand commun diviseur, PGCD :
• ³¹⁵/_1.155 =

  ---

  ^{(32 × 5 × 7)}/_{(3 × 5 × 7 × 11)} =

  ---

  ^{((32 × 5 × 7) : (3 × 5 × 7))} / _{((3 × 5 × 7 × 11) : (3 × 5 × 7))} =

  ---

  ³/₁₁
• La fraction ainsi obtenue est appelée fraction simplifiée le plus possible.

Why reducing (simplifying) fractions to lower terms?

• When running operations with fractions we are often required to bring them to the same denominator, for example when adding, subtracting or comparing.
• Sometimes both the numerators and the denominators of those fractions are large numbers and doing calculations with such numbers could be difficult.
• By simplifying (reducing) a fraction, both the numerator and denominator of a fraction are reduced to smaller values, much easier to work with, this way reducing the overall effort.

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