Simplifier les fractions le plus possible, à leur fraction équivalente la plus simple, irréductible (le plus petit numérateur et dénominateur possible)
Étapes pour simplifier une fraction le plus possible :
- 1) Décomposer en facteurs premiers (la factorisation première) le numérateur et le dénominateur de la fraction.
- 2) Calculez le plus grand commun diviseur, pgcd, du numérateur et du dénominateur des fractions.
- 3) Divisez le numérateur et le dénominateur de la fraction par PGCD.
- La fraction ainsi obtenue est appelée fraction simplifiée au plus possible, à sa plus simple fraction équivalente, irréductible (celle qui a le plus petit numérateur et dénominateur possible).
Exemple : simplifier la fraction 315/1.155 le plus possible.
1) Décomposer en facteurs premiers (la factorisation première) le numérateur et le dénominateur de la fraction.
- Le numérateur de la fraction est 315, la décomposition en facteurs premiers est :
315 = 3 × 3 × 5 × 7 = 32 × 5 × 7 - Le dénominateur de la fraction est 1.155, la décomposition en facteurs premiers est :
1.155 = 3 × 5 × 7 × 11. 2) Calculez le plus grand commun diviseur, pgcd, du numérateur et du dénominateur des fractions.
- Le plus grand commun diviseur, pgcd (315 ; 1.155), est calculé en multipliant tous les facteurs premiers communs du numérateur et du dénominateur, pris par leurs puissances les plus faibles (leurs exposants les plus faibles) :
- PGCD (315; 1.155) = (32 × 5 × 7; 3 × 5 × 7 × 11) = 3 × 5 × 7 = 105
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3) Divisez le numérateur et le dénominateur de la fraction par PGCD.
- Le numérateur et le dénominateur de la fraction sont divisés par le plus grand commun diviseur, PGCD :
- 315/1.155 =
(32 × 5 × 7)/(3 × 5 × 7 × 11) =
((32 × 5 × 7) : (3 × 5 × 7)) / ((3 × 5 × 7 × 11) : (3 × 5 × 7)) =
3/11 - La fraction ainsi obtenue est appelée fraction simplifiée le plus possible.
Why reducing (simplifying) fractions to lower terms?
- When running operations with fractions we are often required to bring them to the same denominator, for example when adding, subtracting or comparing.
- Sometimes both the numerators and the denominators of those fractions are large numbers and doing calculations with such numbers could be difficult.
- By simplifying (reducing) a fraction, both the numerator and denominator of a fraction are reduced to smaller values, much easier to work with, this way reducing the overall effort.