PPCM de 303 et 2.028, quel est le plus petit commun multiple. Trouver le dénominateur commun de fractions. Déterminer plus de multiples à partir du PPCM

Trouver le PPCM de 303 et 2.028, le plus petit commun multiple. Le dénominateur commun. Plus de multiples

Que signifie le plus petit commun multiple (PPCM) ?

  • Le plus petit commun multiple (PPCM) de deux nombres est le plus petit nombre naturel non nul qui soit un multiple des deux nombres.
  • Par exemple, le PPCM de 2 et 3 est 6.
  • Vous verrez ci-dessous comment le calculer par deux méthodes.

  • Plus de multiples de deux nombres à partir du PPCM

  • Une fois que vous avez calculé le PPCM de deux nombres, vous pouvez ensuite trouver d'autres multiples de ces deux nombres en multipliant le PPCM par n'importe quel autre nombre naturel.
  • Par exemple, le PPCM de 2 et 3 = 6, alors les nombres suivants sont également des multiples de 2 et 3 : 6 × 0 = 0 ; 6 × 2 = 12 ; 6 × 3 = 18 ; … et ainsi de suite.
  • Il existe une infinité de multiples de deux nombres quelconques.

  • Le dénominateur commun de deux fractions

  • Calculer le dénominateur commun de deux fractions revient à calculer le plus petit commun multiple (PPCM) de leurs dénominateurs.
  • Par exemple : pour additionner deux fractions, 1/2 et 1/3, il faut qu'elles aient le même dénominateur, de préférence le plus petit possible. Or, ce dénominateur commun est 6, le plus petit commun multiple de 2 et 3 : 1/2 + 1/3 = (3 × 1) / 6 + (2 × 1) / 6 = 3/6 + 2/6 = 5/6
  • » Calculatrice pour l'addition de fractions
  • » Calculatrice pour la soustraction de fractions
  • » Calculatrice pour comparer des fractions

ppcm (303; 2.028) = ?

Méthodes utilisées : 1. La décomposition en facteurs premiers. 2. L'algorithme d'Euclide

Méthode 1. La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première):

La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) d'un nombre : trouver les nombres premiers qui se multiplient ensemble pour faire ce nombre.


303 = 3 × 101
303 n'est pas un nombre premier mais un composé.

2.028 = 22 × 3 × 132
2.028 n'est pas un nombre premier mais un composé.



Calculer le plus petit commun multiple, ppcm:

Multipliez tous les facteurs premiers des deux nombres. S'il existe des facteurs premiers communs, seuls ceux avec les plus grands exposants sont pris (les plus grandes puissances).


Le plus petit commun multiple:
ppcm (303; 2.028) = 22 × 3 × 132 × 101 = 204.828
Les deux nombres ont des facteurs premiers communs

Méthode 2. L'algorithme d'Euclide:

1. Calculer le plus grand commun diviseur:

  • Cet algorithme implique le processus de division des nombres et de calcul des restes.
  • 'a' et 'b' sont les deux nombres naturels, 'a' >= 'b'.
  • Divisez 'a' par 'b' et obtenez le reste de l'opération, 'r'.
  • Si 'r' = 0, STOP. 'b' = le PGCD de 'a' et 'b'.
  • Sinon : Remplacez ('a' par 'b') et ('b' par 'r'). Revenez à l'étape ci-dessus..


Étape 1. Divisez le plus grand nombre par le plus petit:
2.028 : 303 = 6 + 210
Étape 2. Divisez le plus petit nombre par le reste de l'opération ci-dessus:
303 : 210 = 1 + 93
Étape 3. Diviser le reste de l'étape 1 par le reste de l'étape 2:
210 : 93 = 2 + 24
Étape 4. Diviser le reste de l'étape 2 par le reste de l'étape 3:
93 : 24 = 3 + 21
Étape 5. Diviser le reste de l'étape 3 par le reste de l'étape 4:
24 : 21 = 1 + 3
Étape 6. Diviser le reste de l'étape 4 par le reste de l'étape 5:
21 : 3 = 7 + 0
A cette étape, le reste est nul, donc on s'arrête:
3 est le nombre que nous recherchions - le dernier reste non nul.
C'est le plus grand commun diviseur.

Le plus grand commun diviseur:
pgcd (303; 2.028) = 3


2. Calculer le plus petit commun multiple:

Le plus petit commun multiple, Formule:

ppcm (a; b) = (a × b) / pgcd (a; b)


ppcm (303; 2.028) =

(303 × 2.028) / pgcd (303; 2.028) =

614.484 / 3 =

204.828


» L'algorithme d'Euclide


Le plus petit commun multiple:
ppcm (303; 2.028) = 204.828 = 22 × 3 × 132 × 101

Faites défiler vers le bas pour calculer d'autres multiples...

Plusieurs multiples à partir du PPCM

  • Tout multiple commun de deux nombres est également un multiple de leur plus petit commun multiple (PPCM).
  • Les nombres suivants sont également des multiples des nombres 303 et 2.028 :
    204.828 × 0 = 0 ... 204.828 × 2 = 409.656 ... 204.828 × 3 = 614.484 ...
  • Il existe une infinité de multiples de deux nombres quelconques..

Comment vérifier si un nombre est un multiple commun de deux nombres

  • Pour déterminer si un nombre est un multiple commun de deux nombres, divisez le nombre à vérifier par ce PPCM. Si le reste de cette division est nul, alors le nombre à vérifier est un multiple des deux autres nombres. Si le reste est différent de zéro, alors le nombre à vérifier n'est pas un multiple.
  • Par exemple : le PPCM des nombres 4 et 6 est 2 × 2 × 3 = 12.
  • Question : 36 est-il un multiple des nombres 4 et 6 ? Réponse : 36 ÷ 12 = 3 et le reste est 0, donc 36 est un multiple de 4 et 6.
  • Question : 28 est-il un multiple des nombres 4 et 6 ? Réponse : 28 ÷ 12 = 2 et le reste est 4, donc 28 n'est pas un multiple de 4 et 6.

Pourquoi avons-nous besoin du plus petit commun multiple ?

  • Pour additionner, soustraire ou comparer des fractions, vous devez d'abord calculer des fractions équivalentes qui ont le même dénominateur. Ce dénominateur commun n'est rien de plus que le plus petit commun multiple des dénominateurs des fractions.
  • Par définition, le plus petit commun multiple de deux nombres est le plus petit nombre naturel qui est : (1) supérieur à 0 et (2) un multiple des deux nombres.


Opérations similaires avec le calcul du plus petit commun multiple, PPCM :

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Le plus petit commun multiple (ppcm). Qu'est-ce que c'est et comment le calculer.

  • Le nombre 60 est un multiple commun des nombres 6 et 15 car 60 est un multiple de 6 (60 = 6 × 10) et aussi un multiple de 15 (60 = 15 × 4).
  • Il existe une infinité de multiples communs de 6 et 15.
  • Si le nombre "v" est un multiple des nombres "a" et "b", alors tous les multiples de "v" sont aussi des multiples de "a" et "b".
  • Les multiples communs de 6 et 15 sont les nombres 30, 60, 90, 120, etc.
  • Parmi ceux-ci, 30 est le plus petit, 30 est le plus petit commun multiple (ppcm) de 6 et 15.
  • Note: La décomposition d'un nombre en facteurs premiers (la factorisation première d'un nombre) consiste à écrire un nombre naturel supérieur à 1 sous la forme d'un produit de nombres premiers.
  • Si e = ppcm (a, b), alors la factorisation première de "e" doit contenir tous les facteurs premiers impliqués dans la factorisation première de "a" et "b", pris à la puissance la plus élevée.
  • Exemple :
  • 40 = 23 × 5
  • 36 = 22 × 32
  • 126 = 2 × 32 × 7
  • ppcm (40, 36, 126) = 23 × 32 × 5 × 7 = 2.520
  • Note: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. On dit 2 à la puissance 3 - ou - 2 exposant 3. Dans cet exemple, 3 est l'exposant et 2 la base. L'exposant indique combien de fois la base est multipliée par elle-même. 23 est la puissance et 8 est la valeur de la puissance.
  • Un autre exemple de calcul du plus petit commun multiple, ppcm :
  • 938 = 2 × 7 × 67
  • 982 = 2 × 491
  • 743 = est un nombre premier et ne peut pas être décomposé en d'autres facteurs premiers
  • ppcm (938, 982, 743) = 2 × 7 × 67 × 491 × 743 = 342.194.594
  • Si deux nombres ou plus n'ont pas de facteurs communs (ils sont premiers entre eux), alors leur plus petit commun multiple (ppcm) est calculé en multipliant simplement les nombres.
  • Exemple :
  • 6 = 2 × 3
  • 35 = 5 × 7
  • ppcm (6, 35) = 2 × 3 × 5 × 7 = 6 × 35 = 210