La fraction 42.109/3 : la simplifier, la rendre irréductible. La fraction égale à 42.109 sur 3 s'écrit aussi comme de fraction impropre et de nombre fractionnaire, de décimal et de pourcentage. Que représente 42.109 par rapport à 3

Comment simplifier la fraction 42.109/3 le plus possible, à la forme équivalente la plus simple, irréductible, avec le plus petit numérateur et dénominateur ? Comment l'écrire sous forme de nombre ?

Comment simplifier la fraction ?

  • Pour simplifier une fraction le plus possible, à sa forme équivalente la plus simple, irréductible, diviser le numérateur et le dénominateur de la fraction par leur plus grand commun diviseur, pgcd.
  • Pour calculer le plus grand diviseur commun, pgcd, on effectue la décomposition en facteurs premiers des deux nombres.

La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) des deux nombres

La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) d'un nombre : trouver les nombres premiers qui se multiplient ensemble pour former ce nombre.


42.109 = 17 × 2.477
42.109 n'est pas un nombre premier mais composé.

3 est un nombre premier et ne peut être décomposé en d'autres facteurs premiers.




Calculer le plus grand commun diviseur, pgcd:

Multiplier tous les facteurs premiers communs, pris par leurs plus petits exposants (puissances).

Mais les deux nombres n'ont pas de facteurs premiers communs:

pgcd (42.109; 3) = 1
Nombres premiers entre eux

» Calculer le plus grand commun diviseur, pgcd



La fraction ne peut pas être simplifiée

Le numérateur et le dénominateur de la fraction sont des nombres premiers entre eux.

Le seul diviseur commun des deux nombres est 1.


42.109/3 est une fraction impropre.

Une fraction impropre: le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur.


Réécrire la fraction:

Sous forme de nombre fractionnaire (fraction mixte):

  • Un nombre fractionnaire: un entier et une fraction propre de même signe.
  • La fraction impropre d'origine est obtenue en additionnant le nombre entier et la fraction propre.
  • Une fraction propre: le numérateur est plus petit que le dénominateur.

42.109 : 3 = 14.036 et Le reste = 1 ⇒

42.109 = 14.036 × 3 + 1 ⇒

42.109/3 =

(14.036 × 3 + 1) / 3 =

(14.036 × 3) / 3 + 1 / 3 =

14.036 + 1/3 =

14.036 1/3


Sous forme de nombre décimal (par rapport à un tout)

Diviser le numérateur de la fraction par son dénominateur.


14.036 1/3 =

14.036 + 1/3 =

14.036 + 1 : 3 ≈

14.036,333333333333 ≈

14.036,33


En pourcentage (par rapport à un tout)

  • Multipliez la valeur de la fraction par la fraction 100/100
  • 100/100 = 100 : 100 = 100% = 1
  • Multiplier un nombre par la fraction 100/100,
    ... et sa valeur ne changera pas.

14.036,333333333333 =

14.036,333333333333 × 100/100 =

1.403.633,333333333333/100 =

1.403.633,333333333333% ≈

1.403.633,33%



La réponse finale:
:: Résultat écrit de quatre manières ::

Comme une fraction impropre:
42.109/3 = 42.109/3

Sous forme de nombre fractionnaire (fraction mixte):
42.109/3 = 14.036 1/3

Sous forme de nombre décimal:
42.109/3 ≈ 14.036,333333333333 ≈ 14.036,33

En pourcentage:
42.109/3 ≈ 1.403.633,33%

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Simplifier les fractions le plus possible, à leur fraction équivalente la plus simple, irréductible (le plus petit numérateur et dénominateur possible)

Étapes pour simplifier une fraction le plus possible :

  • 1) Décomposer en facteurs premiers (la factorisation première) le numérateur et le dénominateur de la fraction.
  • 2) Calculez le plus grand commun diviseur, pgcd, du numérateur et du dénominateur des fractions.
  • 3) Divisez le numérateur et le dénominateur de la fraction par PGCD.
  • La fraction ainsi obtenue est appelée fraction simplifiée au plus possible, à sa plus simple fraction équivalente, irréductible (celle qui a le plus petit numérateur et dénominateur possible).

Exemple : simplifier la fraction 315/1.155 le plus possible.

  • 1) Décomposer en facteurs premiers (la factorisation première) le numérateur et le dénominateur de la fraction.

  • Le numérateur de la fraction est 315, la décomposition en facteurs premiers est :
    315 = 3 × 3 × 5 × 7 = 32 × 5 × 7
  • Le dénominateur de la fraction est 1.155, la décomposition en facteurs premiers est :
    1.155 = 3 × 5 × 7 × 11.

  • 2) Calculez le plus grand commun diviseur, pgcd, du numérateur et du dénominateur des fractions.

  • Le plus grand commun diviseur, pgcd (315 ; 1.155), est calculé en multipliant tous les facteurs premiers communs du numérateur et du dénominateur, pris par leurs puissances les plus faibles (leurs exposants les plus faibles) :
  • PGCD (315; 1.155) = (32 × 5 × 7; 3 × 5 × 7 × 11) = 3 × 5 × 7 = 105

  • 3) Divisez le numérateur et le dénominateur de la fraction par PGCD.

  • Le numérateur et le dénominateur de la fraction sont divisés par le plus grand commun diviseur, PGCD :
  • 315/1.155 =
    (32 × 5 × 7)/(3 × 5 × 7 × 11) =
    ((32 × 5 × 7) : (3 × 5 × 7)) / ((3 × 5 × 7 × 11) : (3 × 5 × 7)) =
    3/11
  • La fraction ainsi obtenue est appelée fraction simplifiée le plus possible.

Why reducing (simplifying) fractions to lower terms?

  • When running operations with fractions we are often required to bring them to the same denominator, for example when adding, subtracting or comparing.
  • Sometimes both the numerators and the denominators of those fractions are large numbers and doing calculations with such numbers could be difficult.
  • By simplifying (reducing) a fraction, both the numerator and denominator of a fraction are reduced to smaller values, much easier to work with, this way reducing the overall effort.

Lire l'article complet ⇒ Simplifier des fractions le plus possible: étapes et exemples