255 et 71 sont premiers entre eux... si :
- S'il n'y a pas d'autre nombre que 1 divisant les deux nombres sans reste. Ou...
- Ou, en d'autres termes - si leur plus grand commun diviseur, pgcd, est 1.
Calculer le plus grand commun diviseur, pgcd, des nombres
Méthode 1. La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première):
La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) d'un nombre : trouver les nombres premiers qui se multiplient ensemble pour faire ce nombre.
255 = 3 × 5 × 17
255 n'est pas un nombre premier mais un composé.
71 est un nombre premier et ne peut être décomposé en d'autres facteurs premiers.
- Les nombres qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes sont appelés nombres premiers. Un nombre premier n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même.
- Un nombre composé est un nombre naturel qui a au moins un facteur autre que 1 et lui-même.
Calculer le plus grand commun diviseur, pgcd:
Multipliez tous les facteurs premiers communs des deux nombres, pris par leurs plus petits exposants (puissances).
Étape 1. Divisez le plus grand nombre par le plus petit:
255 : 71 = 3 + 42
Étape 2. Divisez le plus petit nombre par le reste de l'opération ci-dessus:
71 : 42 = 1 + 29
Étape 3. Diviser le reste de l'étape 1 par le reste de l'étape 2:
42 : 29 = 1 + 13
Étape 4. Diviser le reste de l'étape 2 par le reste de l'étape 3:
29 : 13 = 2 + 3
Étape 5. Diviser le reste de l'étape 3 par le reste de l'étape 4:
13 : 3 = 4 + 1
Étape 6. Diviser le reste de l'étape 4 par le reste de l'étape 5:
3 : 1 = 3 + 0
A cette étape, le reste est nul, donc on s'arrête:
1 est le nombre que nous recherchions - le dernier reste non nul.
C'est le plus grand commun diviseur.
pgcd (255; 71) = 1
Les nombres 255 et 71 sont-ils premiers entre eux ? Oui.
pgcd (71; 255) = 1