42.300 et 2.231 sont premiers entre eux... si :
- S'il n'y a pas d'autre nombre que 1 divisant les deux nombres sans reste. Ou...
- Ou, en d'autres termes - si leur plus grand commun diviseur, pgcd, est 1.
Calculer le plus grand commun diviseur, pgcd, des nombres
Méthode 1. La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première):
La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) d'un nombre : trouver les nombres premiers qui se multiplient ensemble pour faire ce nombre.
42.300 = 22 × 32 × 52 × 47
42.300 n'est pas un nombre premier mais un composé.
2.231 = 23 × 97
2.231 n'est pas un nombre premier mais un composé.
- Les nombres qui ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes sont appelés nombres premiers. Un nombre premier n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même.
- Un nombre composé est un nombre naturel qui a au moins un facteur autre que 1 et lui-même.
Calculer le plus grand commun diviseur, pgcd:
Multipliez tous les facteurs premiers communs des deux nombres, pris par leurs plus petits exposants (puissances).
Étape 1. Divisez le plus grand nombre par le plus petit:
42.300 : 2.231 = 18 + 2.142
Étape 2. Divisez le plus petit nombre par le reste de l'opération ci-dessus:
2.231 : 2.142 = 1 + 89
Étape 3. Diviser le reste de l'étape 1 par le reste de l'étape 2:
2.142 : 89 = 24 + 6
Étape 4. Diviser le reste de l'étape 2 par le reste de l'étape 3:
89 : 6 = 14 + 5
Étape 5. Diviser le reste de l'étape 3 par le reste de l'étape 4:
6 : 5 = 1 + 1
Étape 6. Diviser le reste de l'étape 4 par le reste de l'étape 5:
5 : 1 = 5 + 0
A cette étape, le reste est nul, donc on s'arrête:
1 est le nombre que nous recherchions - le dernier reste non nul.
C'est le plus grand commun diviseur.
pgcd (42.300; 2.231) = 1
Les nombres 42.300 et 2.231 sont-ils premiers entre eux ? Oui.
pgcd (2.231; 42.300) = 1