659.999.999.659 et 599.999.999.987 sont-ils premiers entre eux ? Comment savoir si deux nombres sont premiers entre eux

Les nombres 659.999.999.659 et 599.999.999.987 sont-ils premiers entre eux ? La relation avec leur plus grand commun diviseur, PGCD

659.999.999.659 et 599.999.999.987 sont premiers entre eux... si :

  • S'il n'y a pas d'autre nombre que 1 divisant les deux nombres sans reste. Ou...
  • Ou, en d'autres termes - si leur plus grand commun diviseur, pgcd, est 1.

Calculer le plus grand commun diviseur, pgcd, des nombres

Méthode 1. La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première):

La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) d'un nombre : trouver les nombres premiers qui se multiplient ensemble pour faire ce nombre.


659.999.999.659 = 7 × 11 × 13 × 659.340.659
659.999.999.659 n'est pas un nombre premier mais un composé.

599.999.999.987 = 181 × 6.653 × 498.259
599.999.999.987 n'est pas un nombre premier mais un composé.




Calculer le plus grand commun diviseur, pgcd:

Multipliez tous les facteurs premiers communs des deux nombres, pris par leurs plus petits exposants (puissances).

Mais les nombres n'ont pas de facteurs premiers communs.

pgcd (659.999.999.659; 599.999.999.987) = 1



Les nombres 659.999.999.659 et 599.999.999.987 sont-ils premiers entre eux ? Oui.
Les nombres n'ont pas de facteurs premiers communs.
pgcd (599.999.999.987; 659.999.999.659) = 1
Faites défiler vers le bas pour la 2ème méthode...

Méthode 2. L'algorithme d'Euclide:

  • Cet algorithme implique le processus de division des nombres et de calcul des restes.
  • 'a' et 'b' sont les deux nombres naturels, 'a' >= 'b'.
  • Divisez 'a' par 'b' et obtenez le reste de l'opération, 'r'.
  • Si 'r' = 0, STOP. 'b' = le PGCD de 'a' et 'b'.
  • Sinon : Remplacez ('a' par 'b') et ('b' par 'r'). Revenez à l'étape ci-dessus..

  • » L'algorithme d'Euclide



Étape 1. Divisez le plus grand nombre par le plus petit:
659.999.999.659 : 599.999.999.987 = 1 + 59.999.999.672
Étape 2. Divisez le plus petit nombre par le reste de l'opération ci-dessus:
599.999.999.987 : 59.999.999.672 = 10 + 3.267
Étape 3. Diviser le reste de l'étape 1 par le reste de l'étape 2:
59.999.999.672 : 3.267 = 18.365.472 + 2.648
Étape 4. Diviser le reste de l'étape 2 par le reste de l'étape 3:
3.267 : 2.648 = 1 + 619
Étape 5. Diviser le reste de l'étape 3 par le reste de l'étape 4:
2.648 : 619 = 4 + 172
Étape 6. Diviser le reste de l'étape 4 par le reste de l'étape 5:
619 : 172 = 3 + 103
Étape 7. Diviser le reste de l'étape 5 par le reste de l'étape 6:
172 : 103 = 1 + 69
Étape 8. Diviser le reste de l'étape 6 par le reste de l'étape 7:
103 : 69 = 1 + 34
Étape 9. Diviser le reste de l'étape 7 par le reste de l'étape 8:
69 : 34 = 2 + 1
Étape 10. Diviser le reste de l'étape 8 par le reste de l'étape 9:
34 : 1 = 34 + 0
A cette étape, le reste est nul, donc on s'arrête:
1 est le nombre que nous recherchions - le dernier reste non nul.
C'est le plus grand commun diviseur.

pgcd (659.999.999.659; 599.999.999.987) = 1


Les nombres 659.999.999.659 et 599.999.999.987 sont-ils premiers entre eux ? Oui.
pgcd (599.999.999.987; 659.999.999.659) = 1


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Nombres premiers entre eux

  • Les nombres "a" et "b" sont dits premiers entre eux si le seul entier positif qui les divise tous les deux est 1.
  • Les nombres premiers sont des paires de (au moins deux) nombres qui n'ont pas d'autre diviseur commun que 1.
  • Lorsque le seul diviseur commun est 1, cela équivaut également à ce que leur plus grand commun diviseur soit 1.
  • Exemples de paires de nombres premiers entre eux :
  • Les nombres premiers entre eux ne sont pas nécessairement des nombres premiers, par exemple 4 et 9 - ces deux nombres ne sont pas premiers, ce sont des nombres composés, puisque 4 = 2 × 2 = 22 et 9 = 3 × 3 = 32. Mais le pgcd (4; 9) = 1, donc ils sont premiers entre eux,.
  • Parfois, les nombres premiers entre eux dans une paire sont eux-mêmes des nombres premiers, par exemple (3 et 5), ou (7 et 11), (13 et 23).
  • D'autres fois, les nombres qui sont premiers entre eux peuvent ou non être premiers, par exemple (5 et 6), (7 et 12), (15 et 23).
  • Exemples de paires de nombres qui ne sont pas premiers entre eux :
  • 16 et 24 ne sont pas premiers entre eux, puisqu'ils sont tous deux divisibles par 1, 2, 4 et 8 (1, 2, 4 et 8 sont leurs diviseurs communs).
  • 6 et 10 ne sont pas premiers entre eux, puisqu'ils sont tous deux divisibles par 2.
  • Quelques propriétés des nombres premiers entre eux :
  • Le plus grand commun diviseur de deux nombres premiers entre eux est toujours 1.
  • Le plus petit commun multiple, ppcm, de deux nombres premiers est toujours leur produit : ppcm (a, b) = a × b.
  • Le nombre 1 est le seul nombre naturel qui est premier avec chaque nombre, par exemple (1 et 2), (1 et 3), (1 et 4), (1 et 5), (1 et 6), etc. , sont tous des paires de nombres premiers entre eux puisque leur plus grand diviseur commun est 1.
  • Le nombre 1 est le seul nombre naturel premier avec 0.
  • Deux nombres premiers sont toujours premiers entre eux, par exemple (2 et 3), (3 et 5), (5 et 7) etc.
  • Deux nombres consécutifs sont premiers entre eux, par exemple (1 et 2), (2 et 3), (3 et 4), (4 et 5), (5 et 6), (6 et 7), (7 et 8), (8 et 9), (9 et 10), etc.
  • La somme de deux nombres premiers entre eux, a + b, est toujours première avec leur produit, a × b. Par exemple, 7 et 10 sont des nombres premiers entre eux, 7 + 10 = 17 est premier avec 7 × 10 = 70. Un autre exemple, 9 et 11 sont premiers entre eux, et leur somme, 9 + 11 = 20 est premier avec leur produit, 9 × 11 = 99.
  • Un moyen rapide de déterminer si deux nombres sont premiers entre eux est donné par l'algorithme d'Euclide : L'algorithme d'Euclide