90.000.000.009 et 180.000.000.018 sont-ils premiers entre eux ? Comment savoir si deux nombres sont premiers entre eux

Les nombres 90.000.000.009 et 180.000.000.018 sont-ils premiers entre eux ? La relation avec leur plus grand commun diviseur, PGCD

90.000.000.009 et 180.000.000.018 ne sont pas premiers entre eux...si :

  • S'il y a au moins un nombre autre que 1 qui divise les deux nombres sans reste. Ou...
  • Ou, en d'autres termes - si leur plus grand commun diviseur, pgcd, n'est pas 1.

Calculer le plus grand commun diviseur, pgcd, des nombres

Méthode 1. La divisibilité des nombres:

Divisez le plus grand nombre par le plus petit.

En divisant les deux nombres, il n'y a pas de reste :

180.000.000.018 : 90.000.000.009 = 2 + 0

⇒ 180.000.000.018 = 90.000.000.009 × 2

⇒ 180.000.000.018 est divisible par 90.000.000.009

⇒ 90.000.000.009 est un diviseur de 180.000.000.018


Par conséquent, pgcd (90.000.000.009; 180.000.000.018) = 90.000.000.009 ≠ 1


Les nombres 90.000.000.009 et 180.000.000.018 sont-ils premiers entre eux ? Non.
pgcd (90.000.000.009; 180.000.000.018) = 90.000.000.009 ≠ 1
Faites défiler vers le bas pour la 2ème méthode...

Méthode 2. La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première):

La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) d'un nombre : trouver les nombres premiers qui se multiplient ensemble pour faire ce nombre.


90.000.000.009 = 32 × 101 × 3.541 × 27.961
90.000.000.009 n'est pas un nombre premier mais un composé.

180.000.000.018 = 2 × 32 × 101 × 3.541 × 27.961
180.000.000.018 n'est pas un nombre premier mais un composé.




Calculer le plus grand commun diviseur, pgcd:

Multipliez tous les facteurs premiers communs des deux nombres, pris par leurs plus petits exposants (puissances).

pgcd (90.000.000.009; 180.000.000.018) = 32 × 101 × 3.541 × 27.961 = 90.000.000.009 ≠ 1



Les nombres 90.000.000.009 et 180.000.000.018 sont-ils premiers entre eux ? Non.
180.000.000.018 a tous les facteurs premiers du nombre 90.000.000.009.
pgcd (90.000.000.009; 180.000.000.018) = 90.000.000.009 ≠ 1


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Nombres premiers entre eux

  • Les nombres "a" et "b" sont dits premiers entre eux si le seul entier positif qui les divise tous les deux est 1.
  • Les nombres premiers sont des paires de (au moins deux) nombres qui n'ont pas d'autre diviseur commun que 1.
  • Lorsque le seul diviseur commun est 1, cela équivaut également à ce que leur plus grand commun diviseur soit 1.
  • Exemples de paires de nombres premiers entre eux :
  • Les nombres premiers entre eux ne sont pas nécessairement des nombres premiers, par exemple 4 et 9 - ces deux nombres ne sont pas premiers, ce sont des nombres composés, puisque 4 = 2 × 2 = 22 et 9 = 3 × 3 = 32. Mais le pgcd (4; 9) = 1, donc ils sont premiers entre eux,.
  • Parfois, les nombres premiers entre eux dans une paire sont eux-mêmes des nombres premiers, par exemple (3 et 5), ou (7 et 11), (13 et 23).
  • D'autres fois, les nombres qui sont premiers entre eux peuvent ou non être premiers, par exemple (5 et 6), (7 et 12), (15 et 23).
  • Exemples de paires de nombres qui ne sont pas premiers entre eux :
  • 16 et 24 ne sont pas premiers entre eux, puisqu'ils sont tous deux divisibles par 1, 2, 4 et 8 (1, 2, 4 et 8 sont leurs diviseurs communs).
  • 6 et 10 ne sont pas premiers entre eux, puisqu'ils sont tous deux divisibles par 2.
  • Quelques propriétés des nombres premiers entre eux :
  • Le plus grand commun diviseur de deux nombres premiers entre eux est toujours 1.
  • Le plus petit commun multiple, ppcm, de deux nombres premiers est toujours leur produit : ppcm (a, b) = a × b.
  • Le nombre 1 est le seul nombre naturel qui est premier avec chaque nombre, par exemple (1 et 2), (1 et 3), (1 et 4), (1 et 5), (1 et 6), etc. , sont tous des paires de nombres premiers entre eux puisque leur plus grand diviseur commun est 1.
  • Le nombre 1 est le seul nombre naturel premier avec 0.
  • Deux nombres premiers sont toujours premiers entre eux, par exemple (2 et 3), (3 et 5), (5 et 7) etc.
  • Deux nombres consécutifs sont premiers entre eux, par exemple (1 et 2), (2 et 3), (3 et 4), (4 et 5), (5 et 6), (6 et 7), (7 et 8), (8 et 9), (9 et 10), etc.
  • La somme de deux nombres premiers entre eux, a + b, est toujours première avec leur produit, a × b. Par exemple, 7 et 10 sont des nombres premiers entre eux, 7 + 10 = 17 est premier avec 7 × 10 = 70. Un autre exemple, 9 et 11 sont premiers entre eux, et leur somme, 9 + 11 = 20 est premier avec leur produit, 9 × 11 = 99.
  • Un moyen rapide de déterminer si deux nombres sont premiers entre eux est donné par l'algorithme d'Euclide : L'algorithme d'Euclide