999.999.999.969 et 1.825.231.615 sont-ils premiers entre eux ? Comment savoir si deux nombres sont premiers entre eux

Les nombres 999.999.999.969 et 1.825.231.615 sont-ils premiers entre eux ? La relation avec leur plus grand commun diviseur, PGCD

999.999.999.969 et 1.825.231.615 sont premiers entre eux... si :

  • S'il n'y a pas d'autre nombre que 1 divisant les deux nombres sans reste. Ou...
  • Ou, en d'autres termes - si leur plus grand commun diviseur, pgcd, est 1.

Calculer le plus grand commun diviseur, pgcd, des nombres

Méthode 1. La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première):

La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) d'un nombre : trouver les nombres premiers qui se multiplient ensemble pour faire ce nombre.


999.999.999.969 = 3 × 333.333.333.323
999.999.999.969 n'est pas un nombre premier mais un composé.

1.825.231.615 = 5 × 13.109 × 27.847
1.825.231.615 n'est pas un nombre premier mais un composé.




Calculer le plus grand commun diviseur, pgcd:

Multipliez tous les facteurs premiers communs des deux nombres, pris par leurs plus petits exposants (puissances).

Mais les nombres n'ont pas de facteurs premiers communs.

pgcd (999.999.999.969; 1.825.231.615) = 1



Les nombres 999.999.999.969 et 1.825.231.615 sont-ils premiers entre eux ? Oui.
Les nombres n'ont pas de facteurs premiers communs.
pgcd (1.825.231.615; 999.999.999.969) = 1
Faites défiler vers le bas pour la 2ème méthode...

Méthode 2. L'algorithme d'Euclide:

  • Cet algorithme implique le processus de division des nombres et de calcul des restes.
  • 'a' et 'b' sont les deux nombres naturels, 'a' >= 'b'.
  • Divisez 'a' par 'b' et obtenez le reste de l'opération, 'r'.
  • Si 'r' = 0, STOP. 'b' = le PGCD de 'a' et 'b'.
  • Sinon : Remplacez ('a' par 'b') et ('b' par 'r'). Revenez à l'étape ci-dessus..

  • » L'algorithme d'Euclide



Étape 1. Divisez le plus grand nombre par le plus petit:
999.999.999.969 : 1.825.231.615 = 547 + 1.598.306.564
Étape 2. Divisez le plus petit nombre par le reste de l'opération ci-dessus:
1.825.231.615 : 1.598.306.564 = 1 + 226.925.051
Étape 3. Diviser le reste de l'étape 1 par le reste de l'étape 2:
1.598.306.564 : 226.925.051 = 7 + 9.831.207
Étape 4. Diviser le reste de l'étape 2 par le reste de l'étape 3:
226.925.051 : 9.831.207 = 23 + 807.290
Étape 5. Diviser le reste de l'étape 3 par le reste de l'étape 4:
9.831.207 : 807.290 = 12 + 143.727
Étape 6. Diviser le reste de l'étape 4 par le reste de l'étape 5:
807.290 : 143.727 = 5 + 88.655
Étape 7. Diviser le reste de l'étape 5 par le reste de l'étape 6:
143.727 : 88.655 = 1 + 55.072
Étape 8. Diviser le reste de l'étape 6 par le reste de l'étape 7:
88.655 : 55.072 = 1 + 33.583
Étape 9. Diviser le reste de l'étape 7 par le reste de l'étape 8:
55.072 : 33.583 = 1 + 21.489
Étape 10. Diviser le reste de l'étape 8 par le reste de l'étape 9:
33.583 : 21.489 = 1 + 12.094
Étape 11. Diviser le reste de l'étape 9 par le reste de l'étape 10:
21.489 : 12.094 = 1 + 9.395
Étape 12. Diviser le reste de l'étape 10 par le reste de l'étape 11:
12.094 : 9.395 = 1 + 2.699
Étape 13. Diviser le reste de l'étape 11 par le reste de l'étape 12:
9.395 : 2.699 = 3 + 1.298
Étape 14. Diviser le reste de l'étape 12 par le reste de l'étape 13:
2.699 : 1.298 = 2 + 103
Étape 15. Diviser le reste de l'étape 13 par le reste de l'étape 14:
1.298 : 103 = 12 + 62
Étape 16. Diviser le reste de l'étape 14 par le reste de l'étape 15:
103 : 62 = 1 + 41
Étape 17. Diviser le reste de l'étape 15 par le reste de l'étape 16:
62 : 41 = 1 + 21
Étape 18. Diviser le reste de l'étape 16 par le reste de l'étape 17:
41 : 21 = 1 + 20
Étape 19. Diviser le reste de l'étape 17 par le reste de l'étape 18:
21 : 20 = 1 + 1
Étape 20. Diviser le reste de l'étape 18 par le reste de l'étape 19:
20 : 1 = 20 + 0
A cette étape, le reste est nul, donc on s'arrête:
1 est le nombre que nous recherchions - le dernier reste non nul.
C'est le plus grand commun diviseur.

pgcd (999.999.999.969; 1.825.231.615) = 1


Les nombres 999.999.999.969 et 1.825.231.615 sont-ils premiers entre eux ? Oui.
pgcd (1.825.231.615; 999.999.999.969) = 1


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Nombres premiers entre eux

  • Les nombres "a" et "b" sont dits premiers entre eux si le seul entier positif qui les divise tous les deux est 1.
  • Les nombres premiers sont des paires de (au moins deux) nombres qui n'ont pas d'autre diviseur commun que 1.
  • Lorsque le seul diviseur commun est 1, cela équivaut également à ce que leur plus grand commun diviseur soit 1.
  • Exemples de paires de nombres premiers entre eux :
  • Les nombres premiers entre eux ne sont pas nécessairement des nombres premiers, par exemple 4 et 9 - ces deux nombres ne sont pas premiers, ce sont des nombres composés, puisque 4 = 2 × 2 = 22 et 9 = 3 × 3 = 32. Mais le pgcd (4; 9) = 1, donc ils sont premiers entre eux,.
  • Parfois, les nombres premiers entre eux dans une paire sont eux-mêmes des nombres premiers, par exemple (3 et 5), ou (7 et 11), (13 et 23).
  • D'autres fois, les nombres qui sont premiers entre eux peuvent ou non être premiers, par exemple (5 et 6), (7 et 12), (15 et 23).
  • Exemples de paires de nombres qui ne sont pas premiers entre eux :
  • 16 et 24 ne sont pas premiers entre eux, puisqu'ils sont tous deux divisibles par 1, 2, 4 et 8 (1, 2, 4 et 8 sont leurs diviseurs communs).
  • 6 et 10 ne sont pas premiers entre eux, puisqu'ils sont tous deux divisibles par 2.
  • Quelques propriétés des nombres premiers entre eux :
  • Le plus grand commun diviseur de deux nombres premiers entre eux est toujours 1.
  • Le plus petit commun multiple, ppcm, de deux nombres premiers est toujours leur produit : ppcm (a, b) = a × b.
  • Le nombre 1 est le seul nombre naturel qui est premier avec chaque nombre, par exemple (1 et 2), (1 et 3), (1 et 4), (1 et 5), (1 et 6), etc. , sont tous des paires de nombres premiers entre eux puisque leur plus grand diviseur commun est 1.
  • Le nombre 1 est le seul nombre naturel premier avec 0.
  • Deux nombres premiers sont toujours premiers entre eux, par exemple (2 et 3), (3 et 5), (5 et 7) etc.
  • Deux nombres consécutifs sont premiers entre eux, par exemple (1 et 2), (2 et 3), (3 et 4), (4 et 5), (5 et 6), (6 et 7), (7 et 8), (8 et 9), (9 et 10), etc.
  • La somme de deux nombres premiers entre eux, a + b, est toujours première avec leur produit, a × b. Par exemple, 7 et 10 sont des nombres premiers entre eux, 7 + 10 = 17 est premier avec 7 × 10 = 70. Un autre exemple, 9 et 11 sont premiers entre eux, et leur somme, 9 + 11 = 20 est premier avec leur produit, 9 × 11 = 99.
  • Un moyen rapide de déterminer si deux nombres sont premiers entre eux est donné par l'algorithme d'Euclide : L'algorithme d'Euclide