La décomposition d'un nombre en facteurs premiers (la factorisation première d'un nombre) = consiste à écrire un nombre naturel supérieur à 1 sous la forme d'un produit de nombres premiers.

Un nombre premier est un nombre naturel qui n'est divisible que par 1 et lui-même. 1 n'est pas considéré comme un nombre premier.

• Note : La décomposition d'un nombre en facteurs premiers (la factorisation première d'un nombre) consiste à écrire un nombre naturel supérieur à 1 sous la forme d'un produit de nombres premiers.
• Le théorème fondamental de l'arithmétique dit que tout entier supérieur à 1 peut être écrit comme un produit d'un ou plusieurs nombres premiers, d'une manière qui est unique, à l'exception de l'ordre des facteurs premiers.
• Le nombre 1 n'est pas considéré comme premier, donc le plus petit nombre premier est 2.
• Si le nombre 1 était considéré comme un nombre premier, alors la factorisation première du nombre 15 pourrait s'écrire : 15 = 3 × 5 OU 15 = 1 × 3 × 5 - ces deux représentations seraient considérées comme des factorisations premières différentes du même nombre, donc le théorème ci-dessus n'aurait plus été valide.

• Les nombres naturels qui se divisent sans reste uniquement par 1 et eux-mêmes sont appelés nombres premiers.
• Exemples de nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, etc.
• Si un nombre est premier, il ne peut pas être décomposé en d'autres facteurs premiers, il n'est divisible que par 1 et lui-même - le nombre lui-même est appelé dans ce cas un diviseur trivial (non-strict, impropre). Aussi 1 est parfois considéré comme un diviseur trivial.

• Un nombre composé est un nombre naturel qui a au moins un autre diviseur que 1 et le nombre lui-même.
• Un nombre composé est également tout nombre naturel supérieur à 1 qui n'est pas un nombre premier.
• Exemples de nombres composés : 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, etc.

• Un nombre premier ne peut pas être décomposé en d'autres facteurs premiers, mais un nombre composé, il peut, comme indiqué ci-dessous :
• Exemple 1 : 6 est divisible par 6, 3, 2 et 1, donc 6 n'est pas un nombre premier, c'est un nombre composé. 6 peut être écrit comme un produit de nombres de différentes manières, comme suit : 6 = 1 × 6, ou 6 = 1 × 2 × 3 ou 6 = 2 × 3. Mais sa décomposition en facteurs premiers (sa factorisation première), quel que soit l'ordre des facteurs, est toujours : 6 = 2 × 3.
• Exemple 2 : 120 peut être écrit comme un produit de nombres de différentes manières, comme suit : 120 = 4 × 30 ou 120 = 2 × 2 × 2 × 15 ou 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5. Sa décomposition en facteurs premiers (sa factorisation première), quel que soit l'ordre des facteurs, est toujours : 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 2³ × 3 × 5 - la dernière forme d'écriture est la forme condensée, avec exposants, de la première forme, la plus longue.
• * Note : 2³ = 2 × 2 × 2 = 8. On dit 2 à la puissance 3 - ou - 2 exposant 3. Dans cet exemple, 3 est l'exposant et 2 la base. L'exposant indique combien de fois la base est multipliée par elle-même. 2³ est la puissance et 8 est la valeur de la puissance.

• Pourquoi est-il important de connaître la décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) des nombres ?
• La factorisation première est utile lors du calcul du plus grand commun diviseur, pgcd.
• Le PGCD est nécessaire pour simplifier les fractions le plus possible, à leurs formes équivalentes les plus simples (le plus petit numérateur et dénominateur).
• La décomposition en facteurs premiers (la factorisation première) est pratique lors du calcul du plus petit commun multiple, ppcm, de nombres - cela est nécessaire lors de l'addition ou de la soustraction de fractions, par exemple...
• Et les exemples pourraient continuer (divisibilité des nombres, calculer tous les diviseurs d'un nombre à partir de sa factorisation première, etc...).

• Exemple de plus de nombres premiers :
• 181 n'est divisible que par 181 et 1, donc 181 est un nombre premier.
• 2.341 n'est divisible que par 2.341 et 1, donc 2.341 est un nombre premier.
• 6.991 n'est divisible que par 6.991 et 1, donc 6.991 est un nombre premier.
• Voici la liste de tous les nombres premiers, de 1 à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
• Les nombres premiers sont utilisés comme blocs de base lors de la construction de la factorisation première des nombres composés. On pourrait donc dire que les nombres premiers sont vraiment les blocs de base des nombres composés.

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